Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a equação diferencial dada é homogênea e, se for, resolver ela. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais homogêneas. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial homogênea e como aplicar uma substituição adequada para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é homogênea. A equação dada é:
Uma equação diferencial de primeira ordem é homogênea se a função que está no lado direito for uma função homogênea de grau zero. Isso significa que se substituirmos por e por , a função não muda.
Vamos testar isso:
Como , a função é homogênea de grau zero. Portanto, a equação diferencial é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos usar a substituição . Vamos expressar em termos de :
Derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo e na equação original:

Passo 4

Vamos isolar :

Passo 5

Vamos separar as variáveis para integrar:
Simplificando o lado esquerdo:
Então:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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