Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a equação diferencial dada é homogênea e, se for, resolver ela. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais homogêneas. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial homogênea e como aplicar uma substituição adequada para resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é homogênea. A equação dada é:
Uma equação diferencial de primeira ordem é homogênea se a função que está no lado direito for uma função homogênea de grau zero. Isso significa que se substituirmos por e por , a função não muda.
Vamos testar isso:
Como , a função é homogênea de grau zero. Portanto, a equação diferencial é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos usar a substituição. Vamos expressar em termos de :