Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
com a condição inicial
. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está na forma padrão
, onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Explicando: Integramos
em relação a
e depois aplicamos a exponencial.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Isso simplifica a solução, porque agora podemos integrar ambos os lados.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Resultando em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos para
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 9
Substituímos o valor de
na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.