Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial. y' + 2/x * y = x ; y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é: com a condição inicial . Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está na forma padrão , onde:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Explicando: Integramos em relação a e depois aplicamos a exponencial.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Isso simplifica a solução, porque agora podemos integrar ambos os lados.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Resultando em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 9

Substituímos o valor de na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados