Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
. Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Ela está na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a parte esquerda da equação em uma derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Para resolver a integral no lado direito, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
, então
. Mas temos
, então podemos reescrever como
:
Essa integral é uma integração por partes, onde
e
. Aplicando a integração por partes:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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