Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com a condição inicial . Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Ela está na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a parte esquerda da equação em uma derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Para resolver a integral no lado direito, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar , então . Mas temos , então podemos reescrever como :
Essa integral é uma integração por partes, onde e . Aplicando a integração por partes:
Voltando para :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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