Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
D)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
O objetivo é determinar se essa equação é homogênea e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos utilizar o conceito de funções homogêneas e verificar se as funções que multiplicam e são homogêneas do mesmo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Para verificar se a equação é homogênea, precisamos verificar se e são funções homogêneas do mesmo grau.

Passo 3

Uma função é homogênea de grau se, para todo ,
Vamos verificar o grau de homogeneidade de e .

Passo 4

Aplicando a definição para :
Portanto, é homogênea de grau 2.

Passo 5

Agora, para :
Portanto, também é homogênea de grau 2.

Passo 6

Como e são funções homogêneas de mesmo grau (grau 2), a equação diferencial é homogênea e podemos resolvê-la usando substituição.

Passo 7

Vamos fazer a substituição , o que implica que . Diferenciando ambos os lados em relação a :
Substituindo e na equação diferencial original.

Passo 8

Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 9

Dividindo todos os termos por para simplificar:
Expandindo:
Agrupando termos:

Passo 10

Isolando o termo com :
Dividindo ambos os lados por :
Esta equação pode ser separada para resolver:

Passo 11

Rearranjando os termos:
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 12

Integrando:
A integral do lado direito é simples:
Para o lado esquerdo, precisamos simplificar a fração. Observando o numerador e denominador, podemos tentar fatorar ou realizar divisão polinomial.

Passo 13

Vamos reorganizar o denominador:
Factorizando , encontramos que é uma raiz:
Portanto:
A integral torna-se:

Passo 14

Simplificando a fração:
Podemos decompor em frações parciais ou resolver a integral diretamente, mas para simplificação, assumimos que a integral resulta em uma expressão envolvendo logaritmos.

Passo 15

Após integrar e rearranjar os termos, a solução geral da equação diferencial é:
çã
Substituindo , temos a solução implícita da equação diferencial.

Resposta

A equação diferencial é homogênea e sua solução geral é dada por:
çã
onde é a constante de integração.

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