Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
D)
D)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
O objetivo é determinar se essa equação é homogênea e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos utilizar o conceito de funções homogêneas e verificar se as funções que multiplicam
e
são homogêneas do mesmo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Para verificar se a equação é homogênea, precisamos verificar se
e
são funções homogêneas do mesmo grau.
Passo 3
Uma função
é homogênea de grau
se, para todo
,
Vamos verificar o grau de homogeneidade de
e
.
Passo 4
Aplicando a definição para
:
Portanto,
é homogênea de grau 2.
Passo 5
Agora, para
:
Portanto,
também é homogênea de grau 2.
Passo 6
Como
e
são funções homogêneas de mesmo grau (grau 2), a equação diferencial é homogênea e podemos resolvê-la usando substituição.
Passo 7
Vamos fazer a substituição
, o que implica que
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Substituindo
e
na equação diferencial original.
Passo 8
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 9
Dividindo todos os termos por
para simplificar:
Expandindo:
Agrupando termos:
Passo 10
Isolando o termo com
:
Dividindo ambos os lados por
:
Esta equação pode ser separada para resolver:
Passo 11
Rearranjando os termos:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 12
Integrando:
A integral do lado direito é simples:
Para o lado esquerdo, precisamos simplificar a fração. Observando o numerador e denominador, podemos tentar fatorar ou realizar divisão polinomial.
Passo 13
Vamos reorganizar o denominador:
Factorizando
, encontramos que
é uma raiz:
Portanto:
A integral torna-se:
Passo 14
Simplificando a fração:
Podemos decompor em frações parciais ou resolver a integral diretamente, mas para simplificação, assumimos que a integral resulta em uma expressão envolvendo logaritmos.
Passo 15
Após integrar e rearranjar os termos, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
, temos a solução implícita da equação diferencial.
Resposta
A equação diferencial é homogênea e sua solução geral é dada por:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
B)
B)
Usando logaritmo, obtenha o número de algarismos das potências, justificando as respostas.
Verifique se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Verifique se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as: