Usando logaritmo, obtenha o número de algarismos das potências, justificando as respostas. 120^125

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar logaritmos para descobrir quantos algarismos tem o número 120^125. A matéria envolvida aqui é a de logaritmos, que ajudam a lidar com potências grandes de forma mais fácil. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula que relaciona logaritmos e número de algarismos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante: o número de algarismos de um número inteiro positivo pode ser encontrado usando logaritmos na base 10. A fórmula é:
ú
Aqui, representa a parte inteira de x, ou seja, o maior número inteiro menor ou igual a x.

Passo 3

No nosso caso, . Então, vamos calcular . Usando propriedades dos logaritmos, sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Podemos fazer isso usando uma calculadora:

Passo 5

Substituindo esse valor na expressão anterior:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do número de algarismos:
ú

Resposta

O número 120^125 possui 260 algarismos.

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