Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
B)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
. Nosso objetivo é verificar se essa equação é homogênea e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais homogêneas, que geralmente envolvem funções onde as variáveis podem ser combinadas em uma única variável através de uma substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação é homogênea se podemos expressá-la na forma
, onde
é uma função de
. Isso simplifica a equação e facilita a resolução.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Então, a derivada
em termos de
e
fica:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar a raiz quadrada:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, podemos cancelar
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Esta é uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
ou
, e do lado direito é
, onde
é a constante de integração.
Vamos usar a forma logarítmica:
Passo 9
Podemos simplificar exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma nova constante.
Passo 10
Vamos resolver para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Cancelando
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos simplificar a constante
para
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Usando logaritmo, obtenha o número de algarismos das potências, justificando as respostas.
Resolva as seguintes equações:
Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
D)
D)
Verifique se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as: