Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial . Nosso objetivo é verificar se essa equação é homogênea e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais homogêneas, que geralmente envolvem funções onde as variáveis podem ser combinadas em uma única variável através de uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação é homogênea se podemos expressá-la na forma , onde é uma função de . Isso simplifica a equação e facilita a resolução.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Então, a derivada em termos de e fica:

Passo 4

Substituindo e na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar a raiz quadrada:
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, podemos cancelar dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Esta é uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é ou , e do lado direito é , onde é a constante de integração.
Vamos usar a forma logarítmica:

Passo 9

Podemos simplificar exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.

Passo 10

Vamos resolver para :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Cancelando dos dois lados:
Resolvendo para :

Passo 11

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :
Podemos simplificar a constante para , então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Usando logaritmo, obtenha o número de algarismos das potências, justificando as respostas.
Resolva as seguintes equações:
Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
D)
Verifique se cada função possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as: