Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
A)
A)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial para a gente analisar. A questão é: Determinar se a equação diferencial a seguir é homogênea. Se for, resolva-a.
A equação dada é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais homogêneas. Isso significa que a equação pode ser simplificada usando uma substituição que torne a variável dependente e a independente proporcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se o lado direito pode ser expresso como uma função homogênea de grau zero, ou seja, se todos os termos têm o mesmo grau.
Na nossa equação:
Vamos analisar o grau de cada termo:
-
tem grau 2. -
também tem grau 2. -
no denominador tem grau 1 + 1 = 2.
Como todos os termos têm o mesmo grau, a função é homogênea de grau zero. Portanto, a equação diferencial é homogênea e podemos resolvê-la usando uma substituição adequada.
Passo 3
Para resolver uma equação diferencial homogênea, usamos a substituição
, onde
é uma nova variável que simplifica a equação.
Vamos definir:
Isso implica que:
Agora, precisamos encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculando
usando a regra do produto:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar o lado direito da equação:
Agora nossa equação fica:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Simplificando o lado direito:
Então:
Passo 7
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Substituindo
de volta na equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial homogênea é:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre o valor de
para que a equação diferencial dada seja exata.
Mostre que as seguintes equações diferenciais são separáveis e resolva-as.
C)
C)
Resolva as seguintes equações:
Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
E)
E)