Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
A)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial para a gente analisar. A questão é: Determinar se a equação diferencial a seguir é homogênea. Se for, resolva-a.
A equação dada é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais homogêneas. Isso significa que a equação pode ser simplificada usando uma substituição que torne a variável dependente e a independente proporcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se o lado direito pode ser expresso como uma função homogênea de grau zero, ou seja, se todos os termos têm o mesmo grau.
Na nossa equação:
Vamos analisar o grau de cada termo:
  • tem grau 2.
  • também tem grau 2.
  • no denominador tem grau 1 + 1 = 2.
Como todos os termos têm o mesmo grau, a função é homogênea de grau zero. Portanto, a equação diferencial é homogênea e podemos resolvê-la usando uma substituição adequada.

Passo 3

Para resolver uma equação diferencial homogênea, usamos a substituição , onde é uma nova variável que simplifica a equação.
Vamos definir:
Isso implica que:
Agora, precisamos encontrar , a derivada de em relação a .

Passo 4

Calculando usando a regra do produto:
Derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo e na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar o lado direito da equação:
Agora nossa equação fica:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar :
Simplificando o lado direito:
Então:

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial homogênea é:
Onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre o valor de para que a equação diferencial dada seja exata.
Mostre que as seguintes equações diferenciais são separáveis e resolva-as.
C)
Resolva as seguintes equações:
Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
E)