Mostre que as seguintes equações diferenciais são separáveis e resolva-as.
C)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A equação diferencial que temos é , com a condição inicial . Vamos resolver essa equação verificando se ela é separável e, se for, encontrando a solução.

Passo 2

Uma equação diferencial é separável quando conseguimos escrever a equação de forma que todas as expressões com ficam de um lado e as com de outro. Vamos tentar fazer isso com a nossa equação.
Temos:
Vamos rearranjar para separar as variáveis:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos começar integrando o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a .
Integral do lado esquerdo:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Integral do lado direito:

Passo 4

Agora, igualamos as integrais:
Podemos simplificar a constante absorvendo o sinal negativo:
Onde é uma nova constante.

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos escrever como uma nova constante :

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule:
Calcule:
Encontre o valor de para que a equação diferencial dada seja exata.
Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
A)