Mostre que as seguintes equações diferenciais são separáveis e resolva-as.
C)
C)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A equação diferencial que temos é
, com a condição inicial
. Vamos resolver essa equação verificando se ela é separável e, se for, encontrando a solução.
Passo 2
Uma equação diferencial é separável quando conseguimos escrever a equação de forma que todas as expressões com
ficam de um lado e as com
de outro. Vamos tentar fazer isso com a nossa equação.
Temos:
Vamos rearranjar para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos começar integrando o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
.
Integral do lado esquerdo:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Integral do lado direito:
Passo 4
Agora, igualamos as integrais:
Podemos simplificar a constante
absorvendo o sinal negativo:
Onde
é uma nova constante.
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos escrever
como uma nova constante
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Calcule:
Calcule:
Encontre o valor de
para que a equação diferencial dada seja exata.
Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
A)
A)