Encontre o valor de para que a equação diferencial dada seja exata.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente recebeu uma equação diferencial e precisa encontrar o valor de que faz com que essa equação seja **exata**. A equação dada é:
**Conteúdo da matéria:** Estamos lidando com equações diferenciais exatas. Uma equação diferencial do tipo é **exata** se existe uma função tal que .
**O que vamos precisar:** Vamos precisar verificar se a condição de exatidão se mantém e, a partir daí, encontrar o valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções e na nossa equação:
Para a equação ser exata, devemos ter que a derivada parcial de em relação a seja igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :
Passo 4
Agora, igualamos as duas derivadas parciais para satisfazer a condição de exatidão:
Podemos simplificar essa equação cancelando o termo dos dois lados:
Passo 5
Vamos resolver para . Primeiro, podemos dividir ambos os lados por (desde que e não sejam zero):
Agora, isolamos :
Resposta
O valor de que torna a equação diferencial exata é:
Exercícios relacionados
Mostre que as seguintes equações diferenciais são separáveis e resolva-as.
C)
Calcule:
Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
A)
Resolva as seguintes equações: