Encontre o valor de para que a equação diferencial dada seja exata.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente recebeu uma equação diferencial e precisa encontrar o valor de que faz com que essa equação seja **exata**. A equação dada é: **Conteúdo da matéria:** Estamos lidando com equações diferenciais exatas. Uma equação diferencial do tipo é **exata** se existe uma função tal que . **O que vamos precisar:** Vamos precisar verificar se a condição de exatidão se mantém e, a partir daí, encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na nossa equação: Para a equação ser exata, devemos ter que a derivada parcial de em relação a seja igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular : Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, igualamos as duas derivadas parciais para satisfazer a condição de exatidão: Podemos simplificar essa equação cancelando o termo dos dois lados:

Passo 5

Vamos resolver para . Primeiro, podemos dividir ambos os lados por (desde que e não sejam zero): Agora, isolamos :

Resposta

O valor de que torna a equação diferencial exata é:

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Mostre que as seguintes equações diferenciais são separáveis e resolva-as. C)
Calcule:
Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as. A)
Resolva as seguintes equações: