Encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata.
(6xy^3 + cos(y)) dx + (k*x^2*y^3 - x*sen(y)) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente recebeu uma equação diferencial e precisa encontrar o valor de que faz com que essa equação seja exata. A equação dada é:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais exatas. Uma equação diferencial do tipo é exata se existe uma função tal que .
O que vamos precisar: Vamos precisar verificar se a condição de exatidão se mantém e, a partir daí, encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na nossa equação:
Para a equação ser exata, devemos ter que a derivada parcial de em relação a seja igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, igualamos as duas derivadas parciais para satisfazer a condição de exatidão:
Podemos simplificar essa equação cancelando o termo dos dois lados:

Passo 5

Vamos resolver para . Primeiro, podemos dividir ambos os lados por (desde que e não sejam zero):
Agora, isolamos :

Resposta

O valor de que torna a equação diferencial exata é:

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