Encontre o valor de
para que a equação diferencial dada seja exata.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente recebeu uma equação diferencial e precisa encontrar o valor de
que faz com que essa equação seja exata. A equação dada é:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais exatas. Uma equação diferencial do tipo
é exata se existe uma função
tal que
.
O que vamos precisar: Vamos precisar verificar se a condição de exatidão se mantém e, a partir daí, encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa equação:
Para a equação ser exata, devemos ter que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Agora, igualamos as duas derivadas parciais para satisfazer a condição de exatidão:
Podemos simplificar essa equação cancelando o termo
dos dois lados:
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por
(desde que
e
não sejam zero):
Agora, isolamos
:
Resposta
O valor de
que torna a equação diferencial exata é: