Determine as equações das elipses abaixo.
b) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de geometria analítica! O enunciado pede para determinar a equação de uma elipse que tem os focos em e , e para cada ponto na elipse, a soma das distâncias até os focos é 5. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre as propriedades das elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse é o conjunto de pontos onde a soma das distâncias para dois pontos fixos chamados focos é constante. Essa constante é igual a , onde é o semi-eixo maior da elipse. No nosso caso, essa soma é 5, então e, portanto, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a distância entre os dois focos para determinar , que é a distância do centro da elipse até cada foco. Os focos estão em e . A distância entre eles é:
Então, e .

Passo 4

Sabemos que em uma elipse, a relação entre , (semi-eixo menor) e é dada por:
Substituindo os valores que já encontramos:
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o centro da elipse. O centro está exatamente no meio entre os dois focos. As coordenadas dos focos são e , então:
Portanto, o centro da elipse é .

Passo 6

Com todos os valores encontrados ( , , e ), podemos escrever a equação padrão da elipse:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da elipse é:

Exercícios relacionados

Determine as equações das elipses abaixo.
a) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .
Determine o vértice da parábola e represente-a geometricamente.
Considerar, no , as bases
c) Calcular sabendo que .
Determine as equações das elipses abaixo.
c) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .