Determine as equações das elipses abaixo.
b) Os focos são
e
e para cada ponto
na elipse temos
.
b) Os focos são
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de geometria analítica! O enunciado pede para determinar a equação de uma elipse que tem os focos em
e
, e para cada ponto
na elipse, a soma das distâncias até os focos é 5. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre as propriedades das elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma elipse é o conjunto de pontos onde a soma das distâncias para dois pontos fixos chamados focos é constante. Essa constante é igual a
, onde
é o semi-eixo maior da elipse. No nosso caso, essa soma é 5, então
e, portanto,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a distância entre os dois focos para determinar
, que é a distância do centro da elipse até cada foco. Os focos estão em
e
. A distância entre eles é:
Então,
e
.
Passo 4
Sabemos que em uma elipse, a relação entre
,
(semi-eixo menor) e
é dada por:
Substituindo os valores que já encontramos:
Então,
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o centro da elipse. O centro está exatamente no meio entre os dois focos. As coordenadas dos focos são
e
, então:
Portanto, o centro da elipse é
.
Passo 6
Com todos os valores encontrados (
,
,
e
), podemos escrever a equação padrão da elipse:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da elipse é:
Exercícios relacionados
Determine as equações das elipses abaixo.
a) Os focos são e
e para cada ponto
na elipse temos
.
a) Os focos são
Determine o vértice da parábola
e represente-a geometricamente.
Considerar, no
, as bases
c) Calcular
sabendo que
.
Determine as equações das elipses abaixo.
c) Os focos são e
e para cada ponto
na elipse temos
.
c) Os focos são