Determine as equações das elipses abaixo.
b) Os focos são F1=(-1,0) e F2=(2,0) e para cada ponto P na elipse temos dist(P, F1)+dist(P, F2)=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de geometria analítica! O enunciado pede para determinar a equação de uma elipse que tem os focos em e , e para cada ponto na elipse, a soma das distâncias até os focos é 5. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre as propriedades das elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse é o conjunto de pontos onde a soma das distâncias para dois pontos fixos chamados focos é constante. Essa constante é igual a , onde é o semi-eixo maior da elipse. No nosso caso, essa soma é 5, então e, portanto, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a distância entre os dois focos para determinar d = raiz(2 - (-1))^2 + (0 - 0)^2 = raiz3^2 = 3 , que é a distância do centro da elipse até cada foco. Os focos estão em e . A distância entre eles é:
Então, e .

Passo 4

Sabemos que em uma elipse, a relação entre c^2 = a^2 - b^2 , (1,5)^2 = (2,5)^2 - b^2 2,25 = 6,25 - b^2 b^2 = 6,25 - 2,25 b^2 = 4 (semi-eixo menor) e é dada por:
Substituindo os valores que já encontramos:
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o centro da elipse. O centro está exatamente no meio entre os dois focos. As coordenadas dos focos são h = -1 + 22 = 12 = 0,5 k = 0 + 02 = 0 e , então:
Portanto, o centro da elipse é .

Passo 6

Com todos os valores encontrados ( (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 , (x - 0,5)^2(2,5)^2 + y^22^2 = 1 (x - 0,5)^26,25 + y^24 = 1 , e ), podemos escrever a equação padrão da elipse:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 0,5)^26,25 + y^24 = 1

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