Determine as equações das elipses abaixo.
c) Os focos são F1=(0,-1) e F2=(0,2) e para cada ponto P na elipse temos dist(P, F1)+dist(P, F2)=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação de uma elipse com os focos e , e para cada ponto na elipse, a soma das distâncias de aos focos é igual a 4. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às elipses, como a definição dos focos, a distância entre eles e os eixos da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio entre Centro ( x1 + x22, y1 + y22 ) e Centro ( 0 + 02, -1 + 22 ) = (0, 0.5) , usamos a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores:
Então, o centro da elipse está no ponto .

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos. A distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e d = raiz(0 - 0)^2 + (2 - (-1))^2 = raiz0 + 9 = 3 é dada por:
Aplicando os valores dos focos:
Então, a distância entre os focos é 3 unidades.

Passo 4

Na definição da elipse, a soma das distâncias dos pontos da elipse aos dois focos é igual a 2a = 4 implies a = 2 , onde é o semieixo maior da elipse. A questão nos diz que essa soma é 4:
Portanto, o semieixo maior é igual a 2.

Passo 5

Sabemos que a distância entre os focos é 2c = 3 implies c = 32 = 1.5 , onde é a distância do centro a cada foco. Já calculamos que a distância entre os focos é 3:
Então, .

Passo 6

Para encontrar o semieixo menor a^2 = b^2 + c^2 , usamos a relação entre 2^2 = b^2 + (1.5)^2 implies 4 = b^2 + 2.25 implies b^2 = 4 - 2.25 = 1.75 , e em uma elipse:
Já temos e :
Assim, .

Passo 7

Como os focos estão alinhados verticalmente (mesmo valor de (x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1 ), a elipse terá seu eixo maior na vertical. A equação padrão de uma elipse com centro (x - 0)^21.75 + (y - 0.5)^24 = 1 , eixo maior vertical, semieixo maior x^21.75 + (y - 0.5)^24 = 1 e semieixo menor é:
Substituindo os valores que encontramos ( , , , ):
Simplificando:

Resposta

A equação da elipse é:
x^21.75 + (y - 0.5)^24 = 1

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