Determine as equações das elipses abaixo.
c) Os focos são
e
e para cada ponto
na elipse temos
.
c) Os focos são
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação de uma elipse com os focos
e
, e para cada ponto
na elipse, a soma das distâncias de
aos focos é igual a 4. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às elipses, como a definição dos focos, a distância entre eles e os eixos da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio entre
e
, usamos a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores:
Então, o centro da elipse está no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos. A distância entre dois pontos
e
é dada por:
Aplicando os valores dos focos:
Então, a distância entre os focos é 3 unidades.
Passo 4
Na definição da elipse, a soma das distâncias dos pontos da elipse aos dois focos é igual a
, onde
é o semieixo maior da elipse. A questão nos diz que essa soma é 4:
Portanto, o semieixo maior
é igual a 2.
Passo 5
Sabemos que a distância entre os focos é
, onde
é a distância do centro a cada foco. Já calculamos que a distância entre os focos é 3:
Então,
.
Passo 6
Para encontrar o semieixo menor
, usamos a relação entre
,
e
em uma elipse:
Já temos
e
:
Assim,
.
Passo 7
Como os focos estão alinhados verticalmente (mesmo valor de
), a elipse terá seu eixo maior na vertical. A equação padrão de uma elipse com centro
, eixo maior vertical, semieixo maior
e semieixo menor
é:
Substituindo os valores que encontramos (
,
,
,
):
Simplificando:
Resposta
A equação da elipse é: