Determine as equações das elipses abaixo.
c) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação de uma elipse com os focos e , e para cada ponto na elipse, a soma das distâncias de aos focos é igual a 4. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às elipses, como a definição dos focos, a distância entre eles e os eixos da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio entre e , usamos a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores:
Então, o centro da elipse está no ponto .

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos. A distância entre dois pontos e é dada por:
Aplicando os valores dos focos:
Então, a distância entre os focos é 3 unidades.

Passo 4

Na definição da elipse, a soma das distâncias dos pontos da elipse aos dois focos é igual a , onde é o semieixo maior da elipse. A questão nos diz que essa soma é 4:
Portanto, o semieixo maior é igual a 2.

Passo 5

Sabemos que a distância entre os focos é , onde é a distância do centro a cada foco. Já calculamos que a distância entre os focos é 3:
Então, .

Passo 6

Para encontrar o semieixo menor , usamos a relação entre , e em uma elipse:
Já temos e :
Assim, .

Passo 7

Como os focos estão alinhados verticalmente (mesmo valor de ), a elipse terá seu eixo maior na vertical. A equação padrão de uma elipse com centro , eixo maior vertical, semieixo maior e semieixo menor é:
Substituindo os valores que encontramos ( , , , ):
Simplificando:

Resposta

A equação da elipse é:

Exercícios relacionados

Considerar, no , as bases
c) Calcular sabendo que .
Determine as equações das elipses abaixo.
b) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .
Determine as equações das elipses abaixo.
d) Focos são e e para cada ponto na elipse temos .
Sabendo que , calcular , sendo
a matriz de mudança de base de para .