Determine as equações das elipses abaixo.
c) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação de uma elipse com os focos e , e para cada ponto na elipse, a soma das distâncias de aos focos é igual a 4. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às elipses, como a definição dos focos, a distância entre eles e os eixos da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio entre e , usamos a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores:
Então, o centro da elipse está no ponto .
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos. A distância entre dois pontos e é dada por:
Aplicando os valores dos focos:
Então, a distância entre os focos é 3 unidades.
Passo 4
Na definição da elipse, a soma das distâncias dos pontos da elipse aos dois focos é igual a , onde é o semieixo maior da elipse. A questão nos diz que essa soma é 4:
Portanto, o semieixo maior é igual a 2.
Passo 5
Sabemos que a distância entre os focos é , onde é a distância do centro a cada foco. Já calculamos que a distância entre os focos é 3:
Então, .
Passo 6
Para encontrar o semieixo menor , usamos a relação entre , e em uma elipse:
Já temos e :
Assim, .
Passo 7
Como os focos estão alinhados verticalmente (mesmo valor de ), a elipse terá seu eixo maior na vertical. A equação padrão de uma elipse com centro , eixo maior vertical, semieixo maior e semieixo menor é: