Sabendo que vB=(3,-2,0), calcular vA, sendo
M=[lll 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 ]
a matriz de mudança de base de A para B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor na base e uma matriz que é a mudança de base de para . Nosso objetivo é encontrar o vetor na base . Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e utilizar a matriz para fazer essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se vB = M cdot vA é a matriz que leva coordenadas da base para a base , isso significa que para encontrar as coordenadas na base de um vetor dado na base , multiplicamos por esse vetor.
Matematicamente, isso é representado por:
Nosso objetivo é encontrar , então precisamos “desfazer” essa transformação. Para isso, vamos usar a matriz inversa de .

Passo 3

Vamos encontrar a inversa da matriz M = 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 . A matriz M^-1 = 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 dada é:
Para encontrar , podemos usar o método da matriz aumentada ou outras técnicas de cálculo de matrizes inversas. Neste caso, vamos calcular a inversa diretamente.
Após calcular, a inversa de é:

Passo 4

Agora que temos vA = M^-1 cdot vB , podemos encontrar vA = 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 cdot 3 -2 0 rearranjando a equação inicial:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos multiplicar a matriz vA = 1 cdot 3 + (-1) cdot (-2) + 0 cdot 0 -1 cdot 3 + 1 cdot (-2) + 0 cdot 0 0 cdot 3 + 0 cdot (-2) + 1 cdot 0 = 3 + 2 + 0 -3 -2 + 0 0 + 0 + 0 = 5 -5 0 pelo vetor :

Resposta

O vetor na base é .

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