Sabendo que , calcular , sendo
a matriz de mudança de base de para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor na base e uma matriz que é a mudança de base de para . Nosso objetivo é encontrar o vetor na base . Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e utilizar a matriz para fazer essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se é a matriz que leva coordenadas da base para a base , isso significa que para encontrar as coordenadas na base de um vetor dado na base , multiplicamos por esse vetor.
Matematicamente, isso é representado por:
Nosso objetivo é encontrar , então precisamos “desfazer” essa transformação. Para isso, vamos usar a matriz inversa de .

Passo 3

Vamos encontrar a inversa da matriz . A matriz dada é:
Para encontrar , podemos usar o método da matriz aumentada ou outras técnicas de cálculo de matrizes inversas. Neste caso, vamos calcular a inversa diretamente.
Após calcular, a inversa de é:

Passo 4

Agora que temos , podemos encontrar rearranjando a equação inicial:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos multiplicar a matriz pelo vetor :

Resposta

O vetor na base é .

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Determine as equações das elipses abaixo.
d) Focos são e e para cada ponto na elipse temos .
Determine as equações das elipses abaixo.
c) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .
Determine as equações das elipses abaixo.
e) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .
Sejam e . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no IR :
a)