Determine as equações das elipses abaixo.
d) Focos são e e para cada ponto na elipse temos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação de uma elipse que tem dois focos específicos, e . Além disso, sabemos que para qualquer ponto na elipse, a soma das distâncias de para esses dois focos é igual a 8. Isso tudo envolve o estudo de elipses na geometria analítica, especialmente usando a definição geométrica da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro de uma elipse é o ponto médio entre os dois focos. Então, calculamos a média das coordenadas dos focos:
Então, o centro da elipse é na origem, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que chamaremos de . A distância entre e é dada pela fórmula da distância:
Então, .

Passo 4

Sabemos que a soma das distâncias dos pontos da elipse aos focos é , então:
Aqui, representa o semieixo maior da elipse.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o semieixo menor usando a relação entre , e em uma elipse:

Passo 6

Com todas as informações, podemos escrever a equação padrão da elipse com centro na origem:
Substituindo os valores de e :

Resposta

A equação da elipse é .

Exercícios relacionados

Determine as equações das elipses abaixo.
c) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .
Considerar, no , as bases
c) Calcular sabendo que .
Sabendo que , calcular , sendo
a matriz de mudança de base de para .
Determine as equações das elipses abaixo.
e) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .