Determine as equações das elipses abaixo.
d) Focos são e e para cada ponto na elipse temos .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação de uma elipse que tem dois focos específicos, e . Além disso, sabemos que para qualquer ponto na elipse, a soma das distâncias de para esses dois focos é igual a 8. Isso tudo envolve o estudo de elipses na geometria analítica, especialmente usando a definição geométrica da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro de uma elipse é o ponto médio entre os dois focos. Então, calculamos a média das coordenadas dos focos:
Então, o centro da elipse é na origem, .
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que chamaremos de . A distância entre e é dada pela fórmula da distância:
Então, .
Passo 4
Sabemos que a soma das distâncias dos pontos da elipse aos focos é , então:
Aqui, representa o semieixo maior da elipse.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o semieixo menor usando a relação entre , e em uma elipse:
Passo 6
Com todas as informações, podemos escrever a equação padrão da elipse com centro na origem: