Determine as equações das elipses abaixo.
d) Focos são F1=(-2,2) e F2=(2,-2) e para cada ponto P na elipse temos dist(P, F1)+dist(P, F2)=8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação de uma elipse que tem dois focos específicos, F1=(-2,2) e F2=(2,-2). Além disso, sabemos que para qualquer ponto P na elipse, a soma das distâncias de P para esses dois focos é igual a 8. Isso tudo envolve o estudo de elipses na geometria analítica, especialmente usando a definição geométrica da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro de uma elipse é o ponto médio entre os dois focos. Então, calculamos a média das coordenadas dos focos:
Centro (h,k) = ( -2 + 22, 2 + (-2)2 ) = (0, 0)
Então, o centro da elipse é na origem, (0, 0).

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que chamaremos de 2c. A distância entre F1=(-2,2) e F2=(2,-2) é dada pela fórmula da distância:
2c = raiz(2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2 = raiz4^2 + (-4)^2 = raiz16 + 16 = raiz32 = 4raiz2
Então, c = 2raiz2.

Passo 4

Sabemos que a soma das distâncias dos pontos da elipse aos focos é 2a = 8, então:
a = 82 = 4
Aqui, a representa o semieixo maior da elipse.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o semieixo menor b usando a relação entre a, b e c em uma elipse:
c^2 = a^2 - b^2 implies b^2 = a^2 - c^2 = 4^2 - (2raiz2)^2 = 16 - 8 = 8 implies b = raiz8 = 2raiz2

Passo 6

Com todas as informações, podemos escrever a equação padrão da elipse com centro na origem:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo os valores de a e b:
x^216 + y^28 = 1

Resposta

A equação da elipse é x^216 + y^28 = 1.

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