Determine as equações das elipses abaixo.
d) Focos são
e
e para cada ponto
na elipse temos
.
d) Focos são
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação de uma elipse que tem dois focos específicos,
e
. Além disso, sabemos que para qualquer ponto
na elipse, a soma das distâncias de
para esses dois focos é igual a 8. Isso tudo envolve o estudo de elipses na geometria analítica, especialmente usando a definição geométrica da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro de uma elipse é o ponto médio entre os dois focos. Então, calculamos a média das coordenadas dos focos:
Então, o centro da elipse é na origem,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que chamaremos de
. A distância entre
e
é dada pela fórmula da distância:
Então,
.
Passo 4
Sabemos que a soma das distâncias dos pontos da elipse aos focos é
, então:
Aqui,
representa o semieixo maior da elipse.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o semieixo menor
usando a relação entre
,
e
em uma elipse:
Passo 6
Com todas as informações, podemos escrever a equação padrão da elipse com centro na origem:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A equação da elipse é
.