Determine as equações das elipses abaixo.
e) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado nos dá os dois focos da elipse, e , e nos informa que a soma das distâncias de qualquer ponto na elipse até esses focos é 5. Vamos usar isso para encontrar a equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma elipse. Uma elipse é o conjunto de todos os pontos tais que a soma das distâncias de a dois pontos fixos chamados focos é constante. No nosso caso, essa constante é 5. Para encontrar a equação da elipse, precisamos identificar alguns parâmetros importantes:
Centro da elipse: O ponto médio entre os focos.
Comprimento do eixo maior (2a): A constante soma das distâncias, que é 5.
Distância entre os focos (2c): Vamos calcular isso usando os pontos dos focos.
Comprimento do eixo menor (2b): Podemos encontrar usando a relação .
Passo 3
Vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. A fórmula para o ponto médio entre e é:
Aplicando isso aos nossos focos e :
Então, o centro da elipse é .
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é . Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores dos focos:
Então, .
Passo 5
Sabemos que a soma das distâncias dos pontos da elipse aos focos é . Então:
Agora, temos e . Precisamos encontrar usando a relação:
Substituindo os valores de e :
Passo 6
Com o centro , e , podemos escrever a equação da elipse na forma padrão: