Determine as equações das elipses abaixo.
e) Os focos são F1=(0,2) e F2=(2,1) e para cada ponto P na elipse temos dist(P, F1)+dist(P, F2)=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado nos dá os dois focos da elipse, e , e nos informa que a soma das distâncias de qualquer ponto na elipse até esses focos é 5. Vamos usar isso para encontrar a equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma elipse. Uma elipse é o conjunto de todos os pontos tais que a soma das distâncias de a dois pontos fixos chamados focos é constante. No nosso caso, essa constante é 5. Para encontrar a equação da elipse, precisamos identificar alguns parâmetros importantes:
  • Centro da elipse: O ponto médio entre os focos.
  • Comprimento do eixo maior (2a): A constante soma das distâncias, que é 5.
  • Distância entre os focos (2c): Vamos calcular isso usando os pontos dos focos.
  • Comprimento do eixo menor (2b): Podemos encontrar usando a relação .

Passo 3

Vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. A fórmula para o ponto médio entre ( x1 + x22, y1 + y22 ) e ( 0 + 22, 2 + 12 ) = ( 1, 1.5 ) é:
Aplicando isso aos nossos focos e :
Então, o centro da elipse é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é distância = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 . Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
2c = raiz(2 - 0)^2 + (1 - 2)^2 = raiz4 + 1 = raiz5 â
Substituindo os valores dos focos:
Então, .

Passo 5

Sabemos que a soma das distâncias dos pontos da elipse aos focos é a = 52 . Então:
c^2 = a^2 - b^2
Agora, temos ( raiz52 )^2 = ( 52 )^2 - b^2 54 = 254 - b^2 b^2 = 254 - 54 = 204 = 5 b = raiz5 e . Precisamos encontrar usando a relação:
Substituindo os valores de e :

Passo 6

Com o centro (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 , (x - 1)^2( 52 )^2 + (y - 1.5)^25 = 1 (x - 1)^2254 + (y - 1.5)^25 = 1 4(x - 1)^225 + (y - 1.5)^25 = 1 e , podemos escrever a equação da elipse na forma padrão:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da elipse é:
4(x - 1)^225 + (y - 1.5)^25 = 1

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