Determine as equações das elipses abaixo.
e) Os focos são
e
e para cada ponto
na elipse temos
.
e) Os focos são
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado nos dá os dois focos da elipse,
e
, e nos informa que a soma das distâncias de qualquer ponto
na elipse até esses focos é 5. Vamos usar isso para encontrar a equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma elipse. Uma elipse é o conjunto de todos os pontos
tais que a soma das distâncias de
a dois pontos fixos chamados focos é constante. No nosso caso, essa constante é 5. Para encontrar a equação da elipse, precisamos identificar alguns parâmetros importantes:
- Centro da elipse: O ponto médio entre os focos.
- Comprimento do eixo maior (2a): A constante soma das distâncias, que é 5.
- Distância entre os focos (2c): Vamos calcular isso usando os pontos dos focos.
- Comprimento do eixo menor (2b): Podemos encontrar usando a relação
.
Passo 3
Vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. A fórmula para o ponto médio entre
e
é:
Aplicando isso aos nossos focos
e
:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é
. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores dos focos:
Então,
.
Passo 5
Sabemos que a soma das distâncias dos pontos da elipse aos focos é
. Então:
Agora, temos
e
. Precisamos encontrar
usando a relação:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 6
Com o centro
,
e
, podemos escrever a equação da elipse na forma padrão:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da elipse é: