Sejam
e
. Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no IR
:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que a operação
define um produto interno no espaço
. Para isso, precisamos entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos precisar verificar algumas regras básicas que definem um produto interno.
Passo 2
Primeiro, o que é um produto interno? Em termos simples, um produto interno é uma maneira de multiplicar dois vetores que retorna um número real, e que satisfaz algumas propriedades específicas. No
, estamos trabalhando com vetores de duas dimensões.
As principais propriedades que um produto interno deve ter são:
- Comutatividade:
- Distribuição em relação à adição:
- Associatividade em relação a escalares:
, onde é um número real. - Positividade:
, e se e somente se for o vetor zero.
Vamos verificar se a operação dada satisfaz todas essas propriedades.
Passo 3
1. Comutatividade
Vamos ver se
:
Como
e
, temos que
. Então, a comutatividade está satisfeita.
Passo 4
2. Distribuição em relação à adição
Vamos verificar se
:
Se
, então:
Os dois lados são iguais, então a distribuição está satisfeita.
Passo 5
3. Associatividade em relação a escalares
Vamos verificar se
, onde
é um número real:
Portanto, a associatividade com escalares também está satisfeita.
Passo 6
4. Positividade
Vamos verificar se
e se
somente quando
é o vetor zero:
Como
e
são sempre maiores ou iguais a zero, a soma também será maior ou igual a zero. Além disso,
somente se
e
, ou seja, se
for o vetor zero.
Resposta
Portanto, a operação
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
.