Sejam u=(x1, y1) e v=(x2, y2). Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no IR ^2 :
a) u cdot v=x1 x2+y1 y2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que a operação define um produto interno no espaço . Para isso, precisamos entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos precisar verificar algumas regras básicas que definem um produto interno.

Passo 2

Primeiro, o que é um produto interno? Em termos simples, um produto interno é uma maneira de multiplicar dois vetores que retorna um número real, e que satisfaz algumas propriedades específicas. No , estamos trabalhando com vetores de duas dimensões.
As principais propriedades que um produto interno deve ter são:
  1. Comutatividade:
  2. Distribuição em relação à adição:
  3. Associatividade em relação a escalares: , onde é um número real.
  4. Positividade: , e se e somente se for o vetor zero.
Vamos verificar se a operação dada satisfaz todas essas propriedades.

Passo 3

1. Comutatividade
Vamos ver se u cdot v = x1x2 + y1y2 :
v cdot u = x2x1 + y2y1 = x1x2 + y1y2
Como e , temos que . Então, a comutatividade está satisfeita.

Passo 4

2. Distribuição em relação à adição
Vamos verificar se v + w = (x2 + x3, y2 + y3) :
Se u cdot (v + w) = x1(x2 + x3) + y1(y2 + y3) = x1x2 + x1x3 + y1y2 + y1y3 , então:
u cdot v + u cdot w = (x1x2 + y1y2) + (x1x3 + y1y3) = x1x2 + x1x3 + y1y2 + y1y3
Os dois lados são iguais, então a distribuição está satisfeita.

Passo 5

3. Associatividade em relação a escalares
Vamos verificar se a u = (a x1, a y1) , onde (a u) cdot v = (a x1)x2 + (a y1)y2 = a x1x2 + a y1y2 = a (x1x2 + y1y2) = a (u cdot v) é um número real:
Portanto, a associatividade com escalares também está satisfeita.

Passo 6

4. Positividade
Vamos verificar se u cdot u = x1^2 + y1^2 e se somente quando é o vetor zero:
Como e são sempre maiores ou iguais a zero, a soma também será maior ou igual a zero. Além disso, somente se e , ou seja, se for o vetor zero.

Resposta

Portanto, a operação satisfaz todas as propriedades de um produto interno em .

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