Sejam e . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no IR :
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que a operação define um produto interno no espaço . Para isso, precisamos entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos precisar verificar algumas regras básicas que definem um produto interno.

Passo 2

Primeiro, o que é um produto interno? Em termos simples, um produto interno é uma maneira de multiplicar dois vetores que retorna um número real, e que satisfaz algumas propriedades específicas. No , estamos trabalhando com vetores de duas dimensões.
As principais propriedades que um produto interno deve ter são:
  1. Comutatividade:
  2. Distribuição em relação à adição:
  3. Associatividade em relação a escalares: , onde é um número real.
  4. Positividade: , e se e somente se for o vetor zero.
Vamos verificar se a operação dada satisfaz todas essas propriedades.

Passo 3

1. Comutatividade
Vamos ver se :
Como e , temos que . Então, a comutatividade está satisfeita.

Passo 4

2. Distribuição em relação à adição
Vamos verificar se :
Se , então:
Os dois lados são iguais, então a distribuição está satisfeita.

Passo 5

3. Associatividade em relação a escalares
Vamos verificar se , onde é um número real:
Portanto, a associatividade com escalares também está satisfeita.

Passo 6

4. Positividade
Vamos verificar se e se somente quando é o vetor zero:
Como e são sempre maiores ou iguais a zero, a soma também será maior ou igual a zero. Além disso, somente se e , ou seja, se for o vetor zero.

Resposta

Portanto, a operação satisfaz todas as propriedades de um produto interno em .

Exercícios relacionados

Determine as equações das elipses abaixo.
e) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .
Sabendo que , calcular , sendo
a matriz de mudança de base de para .
Determine as equações das seguintes hipérboles.
a) Focos e e para cada ponto na hipérbole temos .
Consideremos o seguinte produto interno em , sendo e . Dados os vetores e , calcular:
c)