Sejam e . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no IR :
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que a operação define um produto interno no espaço . Para isso, precisamos entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos precisar verificar algumas regras básicas que definem um produto interno.
Passo 2
Primeiro, o que é um produto interno? Em termos simples, um produto interno é uma maneira de multiplicar dois vetores que retorna um número real, e que satisfaz algumas propriedades específicas. No , estamos trabalhando com vetores de duas dimensões.
As principais propriedades que um produto interno deve ter são:
Comutatividade:
Distribuição em relação à adição:
Associatividade em relação a escalares:, onde é um número real.
Positividade:, e se e somente se for o vetor zero.
Vamos verificar se a operação dada satisfaz todas essas propriedades.
Passo 3
1. Comutatividade
Vamos ver se :
Como e , temos que . Então, a comutatividade está satisfeita.
Passo 4
2. Distribuição em relação à adição
Vamos verificar se :
Se , então:
Os dois lados são iguais, então a distribuição está satisfeita.
Passo 5
3. Associatividade em relação a escalares
Vamos verificar se , onde é um número real:
Portanto, a associatividade com escalares também está satisfeita.
Passo 6
4. Positividade
Vamos verificar se e se somente quando é o vetor zero:
Como e são sempre maiores ou iguais a zero, a soma também será maior ou igual a zero. Além disso, somente se e , ou seja, se for o vetor zero.
Resposta
Portanto, a operação satisfaz todas as propriedades de um produto interno em .