Determine as equações na forma paramétrica e na forma reduzida da reta paralela a reta
e que passa pelo ponto (2,1,0)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as equações na forma paramétrica e na forma reduzida de uma reta que é paralela à reta dada e que passa pelo ponto (2, 1, 0). Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e equações de reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta que foi dada no enunciado. Ela está representada em forma paramétrica:
l x = 1 - 3t y = 5t z = -1 - t
Nessa forma, o parâmetro v = (-3, 5, -1) nos ajuda a identificar a direção da reta. O vetor diretor dessa reta é formado pelos coeficientes de nas três equações. Ou seja, o vetor diretor é:
Esse vetor indica para onde a reta está “apontando” no espaço.
Passo 3
Como queremos uma reta que seja paralela à reta dada, ela vai ter o mesmo vetor diretor. Além disso, a reta que estamos procurando passa pelo ponto l x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct .
Com o vetor diretor l x = 2 - 3t y = 1 + 5t z = 0 - t e o ponto , podemos escrever a forma paramétrica da nova reta. A forma paramétrica de uma reta que passa por um ponto e tem vetor diretor é dada por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 4
Agora, vamos converter essa forma paramétrica para a forma reduzida (ou simétrica). A forma reduzida de uma reta no espaço é dada por:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Usando o ponto x - 2-3 = y - 15 = z - 0-1 e o vetor diretor x - 2-3 = y - 15 = z-1 , substituímos na fórmula:
Ou simplificando:
Resposta
Então, as equações da reta paralela à reta dada e que passa pelo ponto l x = 2 - 3t y = 1 + 5t z = -t são: