Encontre a equação geral do plano passando pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, temos que encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos usar vetores e o produto vetorial, que ajudam a determinar a orientação do plano no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos achar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos:
Esses vetores e estão no plano e serão usados para encontrar o vetor normal ao plano.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal ao plano:
Calculando o determinante:
n = i(8 - 2) - j(4 + 2) + k(1 + 2)
n = 6i - 6j + 3k
Portanto, o vetor normal é .
Passo 4
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto no plano, por exemplo, o ponto 6(x - 2) - 6(y - 1) + 3(z - 0) = 0 , podemos usar a equação geral do plano, que é:
Onde e é o ponto no plano.
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
6x - 12 - 6y + 6 + 3z = 0
6x - 6y + 3z - 6 = 0
Podemos dividir toda a equação por 3 para simplificar: