Encontre a equação geral do plano passando pelos pontos A=(2,1,0), B= (3,3,2) e C=(1,2,4).

Passo 1

Beleza, temos que encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos usar vetores e o produto vetorial, que ajudam a determinar a orientação do plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos achar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos:
AB = B - A = (3-2, 3-1, 2-0) = (1, 2, 2)
AC = C - A = (1-2, 2-1, 4-0) = (-1, 1, 4)
Esses vetores e estão no plano e serão usados para encontrar o vetor normal ao plano.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal n = AB times AC = i & j & k 1 & 2 & 2 -1 & 1 & 4 ao plano:
n = i(2 cdot 4 - 2 cdot 1) - j(1 cdot 4 - 2 cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - 2 cdot (-1))
Calculando o determinante:
n = i(8 - 2) - j(4 + 2) + k(1 + 2)
n = 6i - 6j + 3k
Portanto, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto no plano, por exemplo, o ponto 6(x - 2) - 6(y - 1) + 3(z - 0) = 0 , podemos usar a equação geral do plano, que é:
Onde e é o ponto no plano.
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
6x - 12 - 6y + 6 + 3z = 0
6x - 6y + 3z - 6 = 0
Podemos dividir toda a equação por 3 para simplificar:
2x - 2y + z - 2 = 0
Rearranjando para a forma geral:
2x - 2y + z = 2

Resposta

A equação geral do plano é .

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