Determine as equaçōes na forma paramétrica e na forma simétricas ( x-x0a=gamma-y0b=z-z0c ) das seguintes retas:
A reta paralela a reta 1-2 X3=y4=2 z+14 que passa pelo ponto (2,1,0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as equações paramétrica e simétrica de uma reta que é paralela à reta dada pela equação 1-2x3 = y4 = 2z+14 e que passa pelo ponto (2,1,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores diretores e formas de equações de retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos começar analisando a reta dada: 1-2x3 = y4 = 2z+14. Essa é a forma simétrica da equação da reta. Na forma x - x0a = y - y0b = z - z0c, os numeradores (x - x0, y - y0, z - z0) representam as diferenças entre as coordenadas de um ponto qualquer na reta e um ponto específico (x0, y0, z0) na reta. Os denominadores (a, b, c) são as componentes do vetor diretor da reta.

Passo 3

Para identificar o vetor diretor da reta dada, vamos reescrever a equação para ficar mais claro:
2x -13 = y4 = 2z +14
Aqui, comparando com a forma geral, vemos que o vetor diretor d é (3, 4, 4). Esse vetor indica a direção em que a reta se move no espaço.

Passo 4

Como a reta que queremos encontrar é paralela à reta dada, ela terá o mesmo vetor diretor, ou seja, d = (3, 4, 4). Além disso, sabemos que essa reta passa pelo ponto (2,1,0).
Para escrever a equação paramétrica da reta, utilizamos a seguinte fórmula:
x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t
Onde (x0, y0, z0) é o ponto pelo qual a reta passa e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
  • Ponto: (2,1,0)
  • Vetor diretor: (3,4,4)
A equação paramétrica fica:
x = 2 + 3 t y = 1 + 4 t z = 0 + 4 t
Ou simplificando:
x = 2 + 3 t y = 1 + 4 t z = 4 t

Passo 6

Agora, vamos escrever a equação simétrica da reta. Utilizamos a fórmula:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Substituindo os valores:
x - 23 = y - 14 = z - 04
Simplificando, fica:
x - 23 = y - 14 = z4

Resposta

Equação Paramétrica da Reta:
x = 2 + 3 t y = 1 + 4 t z = 4 t
Equação Simétrica da Reta:
x - 23 = y - 14 = z4

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