Determine as equaçōes na forma paramétrica e na forma simétricas ( ) das seguintes retas:
A reta paralela a reta que passa pelo ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as equações paramétrica e simétrica de uma reta que é paralela à reta dada pela equação e que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores diretores e formas de equações de retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos começar analisando a reta dada: . Essa é a forma simétrica da equação da reta. Na forma , os numeradores representam as diferenças entre as coordenadas de um ponto qualquer na reta e um ponto específico na reta. Os denominadores são as componentes do vetor diretor da reta.
Passo 3
Para identificar o vetor diretor da reta dada, vamos reescrever a equação para ficar mais claro:
Aqui, comparando com a forma geral, vemos que o vetor diretor é . Esse vetor indica a direção em que a reta se move no espaço.
Passo 4
Como a reta que queremos encontrar é paralela à reta dada, ela terá o mesmo vetor diretor, ou seja, . Além disso, sabemos que essa reta passa pelo ponto .
Para escrever a equação paramétrica da reta, utilizamos a seguinte fórmula:
Onde (x0, y0, z0) é o ponto pelo qual a reta passa e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.
Passo 5
Substituindo os valores que temos:
Ponto: (2,1,0)
Vetor diretor: (3,4,4)
A equação paramétrica fica:
x = 2 + 3 t y = 1 + 4 t z = 0 + 4 t
Ou simplificando:
x = 2 + 3 t y = 1 + 4 t z = 4 t
Passo 6
Agora, vamos escrever a equação simétrica da reta. Utilizamos a fórmula: