Determine as equaçōes na forma paramétrica e na forma simétricas ( x-x0a=gamma-y0b=z-z0c ) das seguintes retas:
A reta que passa pelos pontos A= (1,4,-2) e B=(0,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétrica e simétrica da reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de retas no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar um ponto na reta e o vetor diretor que indica a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é simplesmente a diferença entre as coordenadas dos dois pontos dados. Então, calculamos:
d = B - A = (0 - 1, , 1 - 4, , 1 - (-2)) = (-1, , -3, , 3)
Esse vetor nos mostra a direção em que a reta está seguindo.

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor, vamos escrever as equações paramétricas da reta. A equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
x = x0 + a cdot t y = y0 + b cdot t z = z0 + c cdot t
Onde x = 1 - t y = 4 - 3t z = -2 + 3t é um ponto na reta (pode ser ou ), são as componentes do vetor diretor , e é o parâmetro.
Vamos usar o ponto e o vetor diretor :

Passo 4

Agora, vamos elaborar a forma simétrica da equação da reta. A forma simétrica é expressa como:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Usando o ponto x - 1-1 = y - 4-3 = z + 23 e o vetor diretor 1 - x1 = 4 - y3 = z + 23 , substituímos na fórmula:
Podemos também simplificar os sinais para facilitar a leitura:

Resposta

As equações da reta que passa pelos pontos x = 1 - t y = 4 - 3t z = -2 + 3t e x - 1-1 = y - 4-3 = z + 23 são:
Forma Paramétrica:
Forma Simétrica:

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