Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o duplo ortogonal de um conjunto
, que é
, é igual ao fechamento do conjunto
, representado por
. Estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente relacionados a espaços vetoriais e complementos ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que são complemento ortogonal e fechamento de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal de um conjunto
em um espaço vetorial
. O complemento ortogonal,
, é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores de
. Ou seja,
Passo 3
Agora, o fechamento de
, denotado por
, é o menor subespaço fechado que contém
. Isso significa que
inclui todos os limites de sequências de vetores em
. Em outras palavras,
é a “versão completa” de
no espaço vetorial, incluindo todos os pontos que estão “próximos” de
.
Passo 4
Para mostrar que
, vamos usar um teorema fundamental da álgebra linear que diz que o duplo complemento ortogonal de um subespaço fechado é ele mesmo. Ou seja, se
é um subespaço fechado, então
.
Passo 5
Primeiro, observamos que
é um subespaço fechado que contém
. Portanto, tomando o complemento ortogonal de
, temos:
Isso porque
já contém todos os vetores que são ortogonais a
, e como
é o menor subespaço fechado contendo
, os vetores que são ortogonais a
são exatamente os que são ortogonais a
.
Passo 6
Agora, aplicando novamente o complemento ortogonal, temos:
Segundo o teorema mencionado no Passo 4, como
é fechado, isso resulta em:
Resposta
Portanto, mostramos que
.