Mostre que (S^perp)^perp=[S].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o duplo ortogonal de um conjunto , que é , é igual ao fechamento do conjunto , representado por . Estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente relacionados a espaços vetoriais e complementos ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que são complemento ortogonal e fechamento de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal de um conjunto S^perp = v in V mid forall s in S, lang<= v, s rang<= = 0 em um espaço vetorial . O complemento ortogonal, , é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores de . Ou seja,

Passo 3

Agora, o fechamento de , denotado por , é o menor subespaço fechado que contém . Isso significa que inclui todos os limites de sequências de vetores em . Em outras palavras, é a “versão completa” de no espaço vetorial, incluindo todos os pontos que estão “próximos” de .

Passo 4

Para mostrar que , vamos usar um teorema fundamental da álgebra linear que diz que o duplo complemento ortogonal de um subespaço fechado é ele mesmo. Ou seja, se é um subespaço fechado, então .

Passo 5

Primeiro, observamos que [S]^perp = S^perp é um subespaço fechado que contém . Portanto, tomando o complemento ortogonal de , temos:
Isso porque já contém todos os vetores que são ortogonais a , e como é o menor subespaço fechado contendo , os vetores que são ortogonais a são exatamente os que são ortogonais a .

Passo 6

Agora, aplicando novamente o complemento ortogonal, temos:
(S^perp)^perp = ([S]^perp)^perp
Segundo o teorema mencionado no Passo 4, como ([S]^perp)^perp = [S] é fechado, isso resulta em:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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