Verifique se os pontos A=(4,1,5) e B= (0,0,0) pertencem a reta r: X=(1,1,2)+ a(1,0,1).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta r: X = (1,1,2) + a(1,0,1) definida pela equação vetorial:
Queremos verificar se os pontos e pertencem a essa reta. Para isso, precisamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta X = (1,1,2) + a(1,0,1) . Ela está na forma paramétrica, onde:
x = 1 + a y = 1 + 0 cdot a = 1 z = 2 + a
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser obtido variando o parâmetro . As equações paramétricas da reta são:

Passo 3

Para verificar se o ponto 4 = 1 + a implies a = 3 pertence à reta 1 = 1 (Sempre verdadeiro) , vamos substituir as coordenadas de 5 = 2 + a implies a = 3 nas equações paramétricas e resolver para .
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Como encontramos o mesmo valor de para e , e o valor de é sempre 1, o ponto pertence à reta .

Passo 4

Agora, vamos verificar o ponto 0 = 1 + a implies a = -1 . Substituindo suas coordenadas nas equações paramétricas:
  1. Para 0 = 1 (Isso não é verdadeiro) :
0 = 2 + a implies a = -2
  1. Para :
ãé
  1. Para :
Aqui, além de obter valores diferentes para em e , a equação para não é satisfeita. Isso significa que não existe um valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente para o ponto .

Resposta

O ponto pertence à reta , enquanto o ponto não pertence à reta .

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