Determine as equaçōes na forma paramétrica e na forma simétricas ( x-x0a=gamma-y0b=z-z0c ) das seguintes retas:
A reta que passa pelos pontos A= (1,0,-2) e B=(3,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de geometria analítica! O enunciado pede para encontrar as equações parametrizadas e simétricas de uma reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos precisar saber como construir uma reta no espaço usando um ponto e um vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor direção da reta. Isso dá pra fazer subtraindo as coordenadas de v = B - A = (3 - 1, 1 - 0, 1 - (-2)) = (2, 1, 3) das coordenadas de . Então:
Esse vetor indica a direção em que a reta está seguindo.

Passo 3

Agora, vamos montar as equações parametrizadas da reta. A forma geral é:
x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t
Onde x = 1 + 2t y = 0 + 1t z = -2 + 3t é um ponto na reta (vamos usar o ponto x = 1 + 2t y = t z = -2 + 3t ) e são as componentes do vetor direção . Substituindo os valores:
Então, as equações parametrizadas são:

Passo 4

Agora, vamos transformar essas equações parametrizadas em uma equação simétrica. Para isso, isolamos o parâmetro t = x - 12 t = y1 t = z + 23 em cada uma das equações:
x - 12 = y1 = z + 23
Como todas elas são iguais a , podemos igualá-las entre si:

Resposta

As equações da reta são:
Forma Paramétrica:
x = 1 + 2t y = t z = -2 + 3t
Forma Simétrica:
x - 12 = y1 = z + 23

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