Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(f) 4x^2 + y^2 + z^2 = 24, (2, 2, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas coisas para a superfície dada no ponto :
  1. A equação do plano tangente.
  2. A equação da reta normal.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como derivadas para encontrar vetores normais e equações de planos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor normal à superfície no ponto dado. A superfície é definida por . O vetor normal é o gradiente de , ou seja:
Calculando as derivadas parciais:
No ponto , o vetor normal fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície no ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos para a equação da reta normal. A reta normal passa pelo ponto e tem a direção do vetor normal que encontramos, ou seja, . A forma paramétrica da reta é:
Onde é a direção do vetor. Então:

Resposta

(i) Equação do plano tangente:
(ii) Equação da reta normal:

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