Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas coisas para a superfície dada
no ponto
:
- A equação do plano tangente.
- A equação da reta normal.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como derivadas para encontrar vetores normais e equações de planos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor normal à superfície no ponto dado. A superfície é definida por
. O vetor normal é o gradiente de
, ou seja:
Calculando as derivadas parciais:
No ponto
, o vetor normal fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície
no ponto
é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos para a equação da reta normal. A reta normal passa pelo ponto
e tem a direção do vetor normal que encontramos, ou seja,
. A forma paramétrica da reta é:
Onde
é a direção do vetor. Então:
Resposta
(i) Equação do plano tangente:
(ii) Equação da reta normal: