Determine as equações das parábolas abaixo.
a) Foco
e diretriz
.
a) Foco
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a equação de uma parábola que tem como foco o ponto
e como diretriz a reta
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica.
Passo 2
Sabemos que uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes do foco e da diretriz. Ou seja, para qualquer ponto
na parábola, a distância até o foco
deve ser igual à distância até a diretriz
.
Passo 3
Vamos calcular a distância do ponto
até o foco
. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 4
Agora, calculamos a distância do ponto
até a diretriz
. Como a diretriz é uma reta horizontal, a distância é simplesmente a diferença absoluta nas coordenadas
:
Passo 5
De acordo com a definição da parábola, as duas distâncias devem ser iguais. Então, temos:
Passo 6
Para eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Expandindo os termos:
Passo 8
Simplificando a equação, cancelamos
e
de ambos os lados:
Passo 9
Isolando
na equação:
Resposta
A equação da parábola é
.
Exercícios relacionados
Determine as equações das seguintes hipérboles.
c) e
e para cada ponto
na hipérbole temos
.
c)
Determine as equações das seguintes hipérboles.
b) e
e para cada ponto
na hipérbole temos
.
b)
Determine as equações das parábolas abaixo.
b) Foco e diretriz
.
b) Foco
Resolva o sistema de incógnitas
e
: