Determine as equações das parábolas abaixo.
a) Foco e diretriz .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a equação de uma parábola que tem como foco o ponto e como diretriz a reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica.

Passo 2

Sabemos que uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes do foco e da diretriz. Ou seja, para qualquer ponto na parábola, a distância até o foco deve ser igual à distância até a diretriz .

Passo 3

Vamos calcular a distância do ponto até o foco . Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 4

Agora, calculamos a distância do ponto até a diretriz . Como a diretriz é uma reta horizontal, a distância é simplesmente a diferença absoluta nas coordenadas :

Passo 5

De acordo com a definição da parábola, as duas distâncias devem ser iguais. Então, temos:

Passo 6

Para eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto, elevamos ambos os lados ao quadrado:

Passo 7

Expandindo os termos:

Passo 8

Simplificando a equação, cancelamos e de ambos os lados:

Passo 9

Isolando na equação:

Resposta

A equação da parábola é .

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Determine as equações das seguintes hipérboles.
c) e e para cada ponto na hipérbole temos .
Determine as equações das seguintes hipérboles.
b) e e para cada ponto na hipérbole temos .
Determine as equações das parábolas abaixo.
b) Foco e diretriz .
Resolva o sistema de incógnitas e :