Determine as equações das parábolas abaixo.
a) Foco F=(0,1) e diretriz y=-1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a equação de uma parábola que tem como foco o ponto F=(0,1) e como diretriz a reta y=-1. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica.

Passo 2

Sabemos que uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes do foco e da diretriz. Ou seja, para qualquer ponto (x, y) na parábola, a distância até o foco F deve ser igual à distância até a diretriz y=-1.

Passo 3

Vamos calcular a distância do ponto (x, y) até o foco F=(0,1). Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
d1 = raiz(x - 0)^2 + (y - 1)^2 = raizx^2 + (y - 1)^2

Passo 4

Agora, calculamos a distância do ponto (x, y) até a diretriz y=-1. Como a diretriz é uma reta horizontal, a distância é simplesmente a diferença absoluta nas coordenadas y:
d2 = |y - (-1)| = |y + 1|

Passo 5

De acordo com a definição da parábola, as duas distâncias devem ser iguais. Então, temos:
raizx^2 + (y - 1)^2 = |y + 1|

Passo 6

Para eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto, elevamos ambos os lados ao quadrado:
x^2 + (y - 1)^2 = (y + 1)^2

Passo 7

Expandindo os termos:
x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + 2y + 1

Passo 8

Simplificando a equação, cancelamos y^2 e 1 de ambos os lados:
x^2 - 2y = 2y

Passo 9

Isolando y na equação:
x^2 = 4y

Resposta

A equação da parábola é x^2 = 4y.

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