Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações paramétricas e cartesianas da reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
.
Matéria envolvida: Geometria Analítica, mais especificamente sobre retas no plano.
O que vamos precisar:
- Entender a representação paramétrica e cartesiana de retas.
- Saber como encontrar a inclinação (coeficiente angular) de uma reta.
- Saber como determinar uma reta perpendicular a outra usando coeficientes angulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta
. Ela está dada nas equações paramétricas:
Isso significa que conforme
varia, os pontos
na reta
mudam de acordo com essas equações.
Passo 3
Vamos converter as equações paramétricas de
para a forma cartesiana. Para isso, expressamos
em termos de
ou
.
Da primeira equação:
.
Substituindo
na segunda equação:
Então, a equação cartesiana de
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o coeficiente angular (inclinação) da reta
. A equação está na forma
, onde
é o coeficiente angular.
Na equação
, o coeficiente angular é
.
Passo 5
Sabemos que retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos recíprocos. Ou seja, se
é o coeficiente angular da reta
, então o coeficiente angular da reta
,
, será:
Passo 6
Com o coeficiente angular da reta
e sabendo que ela passa pelo ponto
, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Então, a equação cartesiana da reta
é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta
. Sabemos que uma reta pode ser expressa parametricamente como:
Onde
é um ponto na reta e
é um vetor diretor.
Usando o ponto
como
e o coeficiente angular
, podemos escolher
e
(já que
).
Então, as equações paramétricas da reta
são:
Resposta
As equações paramétricas da reta
são:
E a equação cartesiana da reta
é: