Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta s que passa pelo ponto P=(1,3) e é perpendicular à reta r onde: r:lx=2 t y=1-2 t, t in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações paramétricas e cartesianas da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta .
Matéria envolvida: Geometria Analítica, mais especificamente sobre retas no plano.
O que vamos precisar:
  • Entender a representação paramétrica e cartesiana de retas.
  • Saber como encontrar a inclinação (coeficiente angular) de uma reta.
  • Saber como determinar uma reta perpendicular a outra usando coeficientes angulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta r: l x = 2t y = 1 - 2t , t in R . Ela está dada nas equações paramétricas:
Isso significa que conforme varia, os pontos na reta mudam de acordo com essas equações.

Passo 3

Vamos converter as equações paramétricas de y = 1 - 2(x2) = 1 - x para a forma cartesiana. Para isso, expressamos y = -x + 1 em termos de ou .
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Então, a equação cartesiana de é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o coeficiente angular (inclinação) da reta . A equação está na forma , onde é o coeficiente angular.
Na equação , o coeficiente angular é .

Passo 5

Sabemos que retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos recíprocos. Ou seja, se ms = -1mr = -1-1 = 1 é o coeficiente angular da reta , então o coeficiente angular da reta , , será:

Passo 6

Com o coeficiente angular da reta y - y1 = ms (x - x1) y - 3 = 1 cdot (x - 1) e sabendo que ela passa pelo ponto y = x + 2 , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y = x + 2
Substituindo e :
Simplificando:
Então, a equação cartesiana da reta é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta s: l x = x0 + at y = y0 + bt , t in R . Sabemos que uma reta pode ser expressa parametricamente como:
s: l x = 1 + t y = 3 + t , t in R
Onde é um ponto na reta e é um vetor diretor.
Usando o ponto como e o coeficiente angular , podemos escolher e (já que ).
Então, as equações paramétricas da reta são:

Resposta

As equações paramétricas da reta s: l x = 1 + t y = 3 + t , t in R são:
y = x + 2
E a equação cartesiana da reta é:

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