Obtenha uma base para o subespaço W=[(1,-1,1,2),(1,1,2,2),(2,0,-1,2),(1,1,1,3),(-1,-1,-2,4)] de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o subespaço de gerado pelos vetores , , , e . Isso tudo faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços e bases. Para resolver, vamos precisar entender sobre combinação linear e independência linear dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores que nos foram dados. Temos cinco vetores em v1 &= (1, -1, 1, 2) v2 &= (1, 1, 2, 2) v3 &= (2, 0, -1, 2) v4 &= (1, 1, 1, 3) v5 &= (-1, -1, -2, 4) :
Nosso objetivo é ver quais desses vetores são linearmente independentes e formar uma base.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas para facilitar a análise de dependência linear:
1 & -1 & 1 & 2 1 & 1 & 2 & 2 2 & 0 & -1 & 2 1 & 1 & 1 & 3 -1 & -1 & -2 & 4
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para trazer a matriz para a forma escalonada.

Passo 4

Aplicando a eliminação de Gauss:
  1. Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
1 & -1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 0 2 & 0 & -1 & 2 1 & 1 & 1 & 3 -1 & -1 & -2 & 4
  1. Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 1:
1 & -1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 0 0 & 2 & -3 & -2 1 & 1 & 1 & 3 -1 & -1 & -2 & 4
  1. Linha 4 = Linha 4 - Linha 1:
1 & -1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 0 0 & 2 & -3 & -2 0 & 2 & 0 & 1 -1 & -1 & -2 & 4
  1. Linha 5 = Linha 5 + Linha 1:
1 & -1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 0 0 & 2 & -3 & -2 0 & 2 & 0 & 1 0 & -2 & -1 & 6

Passo 5

Continuando a eliminação:
  1. Linha 3 = Linha 3 - Linha 2:
1 & -1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & -4 & -2 0 & 2 & 0 & 1 0 & -2 & -1 & 6
  1. Linha 4 = Linha 4 - Linha 2:
1 & -1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & -4 & -2 0 & 0 & -1 & 1 0 & -2 & -1 & 6
  1. Linha 5 = Linha 5 + Linha 2:
1 & -1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & -4 & -2 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 6

Passo 6

Agora, observamos que as linhas da matriz têm pivôs em todas as colunas, o que indica que os vetores são linearmente independentes até o quarto vetor. Porém, como nossa matriz tinha mais vetores que o espaço , alguns deles são combinações lineares dos anteriores. Portanto, podemos escolher os primeiros quatro vetores como base, já que são independentes.

Resposta

Uma base para o subespaço 1 -1 1 2 , 1 1 2 2 , 2 0 -1 2 , 1 1 1 3 é formada pelos vetores:

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