Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o subespaço de gerado pelos vetores , , , e . Isso tudo faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços e bases. Para resolver, vamos precisar entender sobre combinação linear e independência linear dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores que nos foram dados. Temos cinco vetores em :
Nosso objetivo é ver quais desses vetores são linearmente independentes e formar uma base.
Passo 3
Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas para facilitar a análise de dependência linear:
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para trazer a matriz para a forma escalonada.
Agora, observamos que as linhas da matriz têm pivôs em todas as colunas, o que indica que os vetores são linearmente independentes até o quarto vetor. Porém, como nossa matriz tinha mais vetores que o espaço , alguns deles são combinações lineares dos anteriores. Portanto, podemos escolher os primeiros quatro vetores como base, já que são independentes.
Resposta
Uma base para o subespaço 1 -1 1 2 , 1 1 2 2 , 2 0 -1 2 , 1 1 1 3 é formada pelos vetores: