Determine equações paramétricas para o plano Pi, onde:
d. Pi: x+y+z=2.

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui o enunciado que pede para determinar as equações paramétricas de um plano Pi, que é dado pela equação x + y + z = 2. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e equações paramétricas. Para resolver isso, a gente vai precisar achar um ponto que está no plano e dois vetores que apontam dentro do plano. Com esses elementos, conseguimos montar as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto específico que pertence ao plano Pi. Para isso, podemos escolher valores para duas das três variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se escolhermos x = 0 e y = 0, substituindo na equação do plano:
0 + 0 + z = 2 implies z = 2
Então, um ponto no plano é P(0, 0, 2).

Passo 3

Agora, precisamos achar dois vetores direcionais que estejam dentro do plano. Esses vetores vão nos ajudar a navegar pelo plano usando parâmetros. Para encontrar esses vetores, vamos escolher outros pontos no plano e calcular a diferença entre eles.
Vamos escolher dois pontos adicionais:
  1. Ponto A: Vamos fixar x = 1 e y = 0. Substituindo na equação:
1 + 0 + z = 2 implies z = 1
Então, A(1, 0, 1).
  1. Ponto B: Vamos fixar x = 0 e y = 1. Substituindo na equação:
0 + 1 + z = 2 implies z = 1
Então, B(0, 1, 1).
Agora, calculamos os vetores direcionais:
u = A - P = (1 - 0, 0 - 0, 1 - 2) = (1, 0, -1)
v = B - P = (0 - 0, 1 - 0, 1 - 2) = (0, 1, -1)
Então, os vetores direcionais são u = (1, 0, -1) e v = (0, 1, -1).

Passo 4

Com o ponto P(0, 0, 2) e os vetores direcionais u = (1, 0, -1) e v = (0, 1, -1), podemos montar as equações paramétricas do plano. A ideia é expressar as coordenadas x, y e z em função de dois parâmetros, que vamos chamar de t e s.
Assim, as equações ficam:
x = 0 + 1 cdot t + 0 cdot s = t y = 0 + 0 cdot t + 1 cdot s = s z = 2 - 1 cdot t - 1 cdot s = 2 - t - s

Resposta

As equações paramétricas para o plano Pi: x + y + z = 2 são:
x = t y = s z = 2 - t - s
onde t e s são parâmetros reais.

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