Determine equações paramétricas para o plano , onde:
d. .
Passo 1
Beleza, a gente tem aqui o enunciado que pede para determinar as equações paramétricas de um plano , que é dado pela equação . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e equações paramétricas. Para resolver isso, a gente vai precisar achar um ponto que está no plano e dois vetores que apontam dentro do plano. Com esses elementos, conseguimos montar as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um ponto específico que pertence ao plano . Para isso, podemos escolher valores para duas das três variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se escolhermos e , substituindo na equação do plano:
Então, um ponto no plano é .
Passo 3
Agora, precisamos achar dois vetores direcionais que estejam dentro do plano. Esses vetores vão nos ajudar a navegar pelo plano usando parâmetros. Para encontrar esses vetores, vamos escolher outros pontos no plano e calcular a diferença entre eles.
Vamos escolher dois pontos adicionais:
Ponto A: Vamos fixar e . Substituindo na equação:
Então, .
Ponto B: Vamos fixar e . Substituindo na equação:
Então, .
Agora, calculamos os vetores direcionais:
Então, os vetores direcionais são e .
Passo 4
Com o ponto e os vetores direcionais e , podemos montar as equações paramétricas do plano. A ideia é expressar as coordenadas , e em função de dois parâmetros, que vamos chamar de e .