Escreva uma equação geral do plano paralelo ao eixo e que contenha e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica onde precisamos escrever a equação geral de um plano que é paralelo ao eixo e que passa pelos pontos e . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como identificar a orientação de um plano e usar as coordenadas dos pontos para montar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o plano ser paralelo ao eixo . O eixo é a linha que vai do ponto na direção positiva de . Se o plano é paralelo a esse eixo, isso implica que a direção do eixo está contida no plano. Em outras palavras, o vetor diretor do eixo é e está no plano.
Passo 3
Agora, sabemos que o plano contém os pontos e . Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano. Esse vetor normal pode ser encontrado usando o produto vetorial entre dois vetores que estão no plano.
Passo 4
Vamos começar encontrando dois vetores no plano. Um deles é o vetor que vai de para :
O outro vetor é o vetor diretor do eixo , que é , já que o plano é paralelo a esse eixo.
Passo 5
Agora, calculamos o vetor normal usando o produto vetorial desses dois vetores:
Fazendo o cálculo:
Simplificando:
n = i(0) - j(0 + 1) + k(0 + 3) = (0, -1, 3)
Passo 6
Com o vetor normal n = (0, -1, 3), podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0
Escolhemos um dos pontos que estão no plano, por exemplo, o ponto A(2,3,0):
0(x - 2) -1(y - 3) + 3(z - 0) = 0
Passo 7
Simplificando a equação:
- (y - 3) + 3z = 0 - y + 3 + 3z = 0 - y + 3z = -3 y - 3z = 3