Escreva uma equação geral do plano paralelo ao eixo O x e que contenha A(2,3,0) e B(1,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica onde precisamos escrever a equação geral de um plano que é paralelo ao eixo O x e que passa pelos pontos A(2,3,0) e B(1,0,-1). Para resolver isso, vamos precisar lembrar como identificar a orientação de um plano e usar as coordenadas dos pontos para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o plano ser paralelo ao eixo O x. O eixo O x é a linha que vai do ponto (0,0,0) na direção positiva de x. Se o plano é paralelo a esse eixo, isso implica que a direção do eixo O x está contida no plano. Em outras palavras, o vetor diretor do eixo O x é (1,0,0) e está no plano.

Passo 3

Agora, sabemos que o plano contém os pontos A(2,3,0) e B(1,0,-1). Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano. Esse vetor normal pode ser encontrado usando o produto vetorial entre dois vetores que estão no plano.

Passo 4

Vamos começar encontrando dois vetores no plano. Um deles é o vetor que vai de A para B:
AB = B - A = (1-2, 0-3, -1-0) = (-1, -3, -1)
O outro vetor é o vetor diretor do eixo O x, que é (1,0,0), já que o plano é paralelo a esse eixo.

Passo 5

Agora, calculamos o vetor normal n usando o produto vetorial desses dois vetores:
n = AB times (1,0,0)
Fazendo o cálculo:
n = i & j & k -1 & -3 & -1 1 & 0 & 0 = i( -3 cdot 0 - (-1) cdot 0 ) - j( -1 cdot 0 - (-1) cdot 1 ) + k( -1 cdot 0 - (-3) cdot 1 )
Simplificando:
n = i(0) - j(0 + 1) + k(0 + 3) = (0, -1, 3)

Passo 6

Com o vetor normal n = (0, -1, 3), podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0
Escolhemos um dos pontos que estão no plano, por exemplo, o ponto A(2,3,0):
0(x - 2) -1(y - 3) + 3(z - 0) = 0

Passo 7

Simplificando a equação:
- (y - 3) + 3z = 0 - y + 3 + 3z = 0 - y + 3z = -3 y - 3z = 3
Então, a equação geral do plano é:
y - 3z = 3

Resposta

A equação geral do plano é y - 3z = 3.

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