Escreva uma equação geral do plano paralelo ao eixo e que contenha e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica onde precisamos escrever a equação geral de um plano que é paralelo ao eixo e que passa pelos pontos e . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como identificar a orientação de um plano e usar as coordenadas dos pontos para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o plano ser paralelo ao eixo . O eixo é a linha que vai do ponto na direção positiva de . Se o plano é paralelo a esse eixo, isso implica que a direção do eixo está contida no plano. Em outras palavras, o vetor diretor do eixo é e está no plano.

Passo 3

Agora, sabemos que o plano contém os pontos e . Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano. Esse vetor normal pode ser encontrado usando o produto vetorial entre dois vetores que estão no plano.

Passo 4

Vamos começar encontrando dois vetores no plano. Um deles é o vetor que vai de para :
O outro vetor é o vetor diretor do eixo , que é , já que o plano é paralelo a esse eixo.

Passo 5

Agora, calculamos o vetor normal usando o produto vetorial desses dois vetores:
Fazendo o cálculo:
Simplificando:

Passo 6

Com o vetor normal , podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
Escolhemos um dos pontos que estão no plano, por exemplo, o ponto :

Passo 7

Simplificando a equação:
Então, a equação geral do plano é:

Resposta

A equação geral do plano é .

Exercícios relacionados

Verificar se os seguintes conjuntos, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, são espaços vetoriais:
a.
b.
Determine as equações paramétricas do plano .
Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do :
a. ;
b. e ;
c. .
Verificar se a matriz é inversível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa: