Verificar se os seguintes conjuntos, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, são espaços vetoriais:
a.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre espaços vetoriais. A gente precisa verificar se os conjuntos dados, com as operações normais de adição de matrizes e multiplicação por escalar, são de fato espaços vetoriais. Para isso, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa satisfazer certos axiomas, como ter um vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalares, entre outros.
Passo 2
Vamos começar com a letra a, onde o conjunto é:
Primeiro, vamos ver se esse conjunto contém o vetor zero. O vetor zero seria a matriz:
Mas, no nosso conjunto V, as posições (1,2) e (2,1) são sempre 1. Então, o vetor zero não está em V.
Segundo, vamos verificar a fechadura sob adição. Se somarmos duas matrizes de V:
Perceba que agora as posições (1,2) e (2,1) são 2, e não 1. Ou seja, a soma não está mais dentro de V.
Terceiro, vamos checar a fechadura sob multiplicação por escalar. Multiplicando uma matriz de V por um escalar k:
Aqui, as posições (1,2) e (2,1) são k, que só seria 1 se k=1. Portanto, a multiplicação por escalar não conserva o conjunto V.
Passo 3
Como o conjunto V na letra a) não contém o vetor zero, não é fechado sob adição e não é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que V não é um espaço vetorial.
Passo 4
Agora, vamos para a letra b, onde o conjunto é:
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em V:
Sim, essa matriz está em V quando a = 0 e b = 0.
Segundo, vamos checar a fechadura sob adição. Somando duas matrizes de V:
A soma também está em V, já que as posições fora da diagonal permanecem 0.
Terceiro, vamos verificar a fechadura sob multiplicação por escalar. Multiplicando uma matriz de V por um escalar k:
A multiplicação por escalar também mantém as posições fora da diagonal igual a 0, então o resultado está em V.