lim (x, y) (pi, pi / 2) cos y-sen 2 ycos x cos y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Aqui vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e aplicar propriedades de funções trigonométricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de cos(pi/2) - sin(2 cdot pi/2)cos(pi) cos(pi/2) = 0 - sin(pi)(-1) cdot 0 = 0 - 0-0 = 00 e no limite para ver o que acontece:
Essa forma é indeterminada, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão da função para facilitar a simplificação. Observe que sin(2y) = 2 sin y cos y pode ser expandido usando a identidade trigonométrica dupla:
cos y - 2 sin y cos ycos x cos y = cos y (1 - 2 sin y)cos x cos y
Substituindo na função original:

Passo 4

Agora, podemos simplificar cos y (1 - 2 sin y)cos x cos y = 1 - 2 sin ycos x que está presente no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora, substituímos 1 - 2 sin(pi/2)cos(pi) = 1 - 2 cdot 1-1 = 1 - 2-1 = -1-1 = 1 por e por na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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