Determine as equações paramétricas e represente graficamente a reta que passa pelos pontos:
(b) A=(4,1) e B=(2,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinarmos as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa pelos pontos e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de reta, e vamos precisar entender como encontrar a direção da reta e então expressar suas equações em forma paramétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta, que nos indica a direção em que a reta está apontando. Para isso, vamos calcular a diferença entre as coordenadas dos pontos d = (xB - xA, yB - yA) = (2 - 4, -2 - 1) = (-2, -3) e .
O vetor diretor é dado por:
Isso significa que a reta se move 2 unidades para a esquerda e 3 unidades para baixo a partir de qualquer ponto nela.

Passo 3

Com o vetor diretor encontrado, podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas têm a forma:
x = x0 + at
y = y0 + bt
Onde x = 4 - 2t é um ponto na reta (pode ser y = 1 - 3t ou ), são as componentes do vetor diretor, e é o parâmetro.
Vamos usar o ponto e o vetor diretor :

Passo 4

Agora, para representar graficamente a reta, podemos escolher diferentes valores de e calcular os correspondentes pontos . Por exemplo:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Plotando esses pontos no plano cartesiano e traçando uma linha que os une, teremos a representação gráfica da reta que passa pelos pontos e .

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 4 - 2t
y = 1 - 3t

Exercícios relacionados

A reta r contém os pontos (4,2) e (7,3). Determine k para que o ponto (16, k) pertença a r.
Determine as equações paramétricas e represente graficamente a reta que passa pelos pontos:
(a) A=(1,2) e B=(1,0)
Encontre equações paramétricas da reta que passa por A=(3,-1) e é paralela à reta r:(x, y)=(1,3)+t(0,1).
Encontre a projeção do vetor w na direção do vetor v nos seguintes casos:
(i) w=(1,-1,2) e v=(3,-1,1);
(ii) w=(-1,1,1) e v=(-2,1,2);
(iii) w=(1,3,5) e v=(-3,1,0).