(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(a) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é duas coisas:
  1. Encontrar as equações paramétricas da reta que é a interseção dos planos e .
  2. Determinar o ângulo entre esses dois planos.
Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear e geometria no espaço tridimensional. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a reta de interseção dos dois planos. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações dado pelos planos:
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar o :
Agora, vamos expressar em termos de e escolher como parâmetro. Assim:
Substituindo e na primeira equação para encontrar :
Então, a reta de interseção tem:

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da reta de interseção. Usando o parâmetro , temos:
Isso pode ser escrito de forma vetorial como:
Portanto, as equações paramétricas da reta são:

Passo 4

Agora, vamos determinar o ângulo entre os dois planos. Para isso, precisamos das normais dos planos. A normal de um plano é o vetor .
Para o primeiro plano , a normal é:
Para o segundo plano , a normal é:

Passo 5

O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre suas normais. Podemos calcular usando a fórmula do produto escalar:
Vamos calcular o produto escalar:
Agora, as normas dos vetores:
Substituindo na fórmula:
Agora, para encontrar o ângulo :

Resposta

As equações paramétricas da reta de interseção são:
E o ângulo entre os planos é:

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