(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(a)
e
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é duas coisas:
- Encontrar as equações paramétricas da reta que é a interseção dos planos
e . - Determinar o ângulo entre esses dois planos.
Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear e geometria no espaço tridimensional. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a reta de interseção dos dois planos. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações dado pelos planos:
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar o
:
Agora, vamos expressar
em termos de
e escolher
como parâmetro. Assim:
Substituindo
e
na primeira equação para encontrar
:
Então, a reta de interseção tem:
Passo 3
Agora, vamos escrever as equações paramétricas da reta de interseção. Usando o parâmetro
, temos:
Isso pode ser escrito de forma vetorial como:
Portanto, as equações paramétricas da reta são:
Passo 4
Agora, vamos determinar o ângulo entre os dois planos. Para isso, precisamos das normais dos planos. A normal de um plano
é o vetor
.
Para o primeiro plano
, a normal é:
Para o segundo plano
, a normal é:
Passo 5
O ângulo
entre os planos é o mesmo que o ângulo entre suas normais. Podemos calcular usando a fórmula do produto escalar:
Vamos calcular o produto escalar:
Agora, as normas dos vetores:
Substituindo na fórmula:
Agora, para encontrar o ângulo
:
Resposta
As equações paramétricas da reta de interseção são:
E o ângulo entre os planos é:
Exercícios relacionados
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
Se
existe uma transformação linear
de
em
tal que
para
e 3 ?