Se
existe uma transformação linear
de
em
tal que
para
e 3 ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos três pares de vetores no espaço bidimensional
. Os vetores são:
A pergunta é: existe uma transformação linear
que leva cada
para
para
? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela atua nos vetores. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear
tem duas propriedades principais:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
para qualquer escalar
Essas propriedades significam que se soubermos o que
faz com uma base do espaço, podemos determinar o que
faz com qualquer vetor.
Passo 3
Como estamos trabalhando em
, podemos escolher uma base, por exemplo, os vetores padrão
e
. Se soubermos
e
, podemos calcular
para qualquer vetor.
No nosso caso, porém, temos três vetores
que queremos que sejam mapeados para
respectivamente. Vamos ver se isso é possível.
Passo 4
Vamos expressar cada vetor
como uma combinação linear da base
e
:
Aplicando a transformação linear
a cada
, temos:
Isso significa que se conhecermos
e
, podemos calcular
para qualquer
.
Passo 5
Vamos chamar:
Assim, podemos escrever as transformações dos vetores
:
Sabemos que esses devem ser iguais a
respectivamente:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações para resolver. Vamos separar as componentes x e y:
Para
:
Para
:
3.
4.
3.
4.
Para
:
5.
6.
5.
6.
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
.
Passo 7
Vamos começar com as equações 1 e 3 para encontrar
e
:
-
→ -
Substituindo
na equação 3:
Agora, usando
:
Passo 8
Agora vamos resolver para
e
usando as equações 2 e 4:
-
→ -
Substituindo
na equação 4:
Então,
Passo 9
Agora que temos
,
,
, e
, vamos verificar se essas soluções satisfazem as equações 5 e 6:
Vimos que as equações 5 e 6 não são satisfeitas com esses valores. Isso significa que não conseguimos encontrar
que atendam todas as condições simultaneamente.
Resposta
Não, não existe uma transformação linear
de
em
que satisfaça
para
e
.
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