Se
existe uma transformação linear de em tal que para e 3 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos três pares de vetores no espaço bidimensional . Os vetores são:
A pergunta é: existe uma transformação linear que leva cada para para ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela atua nos vetores. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear tem duas propriedades principais:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar
Essas propriedades significam que se soubermos o que faz com uma base do espaço, podemos determinar o que faz com qualquer vetor.

Passo 3

Como estamos trabalhando em , podemos escolher uma base, por exemplo, os vetores padrão e . Se soubermos e , podemos calcular para qualquer vetor.
No nosso caso, porém, temos três vetores que queremos que sejam mapeados para respectivamente. Vamos ver se isso é possível.

Passo 4

Vamos expressar cada vetor como uma combinação linear da base e :
Aplicando a transformação linear a cada , temos:
Isso significa que se conhecermos e , podemos calcular para qualquer .

Passo 5

Vamos chamar:
Assim, podemos escrever as transformações dos vetores :
Sabemos que esses devem ser iguais a respectivamente:

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações para resolver. Vamos separar as componentes x e y:
Para :
Para :
3.
4.
Para :
5.
6.
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de .

Passo 7

Vamos começar com as equações 1 e 3 para encontrar e :
Substituindo na equação 3:



Agora, usando :

Passo 8

Agora vamos resolver para e usando as equações 2 e 4:
Substituindo na equação 4:

Então,

Passo 9

Agora que temos , , , e , vamos verificar se essas soluções satisfazem as equações 5 e 6:
Vimos que as equações 5 e 6 não são satisfeitas com esses valores. Isso significa que não conseguimos encontrar que atendam todas as condições simultaneamente.

Resposta

Não, não existe uma transformação linear de em que satisfaça para e .

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