Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
L{cos(t) U(t - pi/4)}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função multiplicada pela função degrau unitário . Neste exercício, vamos trabalhar com Transformadas de Laplace, especificamente aplicando o teorema de deslocamento. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a transformada de e entender como o deslocamento no tempo afeta a transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função degrau unitário . Essa função é igual a 0 para e igual a 1 para . Ela basicamente “ativa” a função original a partir do tempo a. No nosso caso, . Isso significa que só começa a valer a partir de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace de é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Para aplicar o teorema de deslocamento no tempo, usamos a seguinte propriedade:
Aqui, e . Então, substituindo na fórmula:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace da função dada é:

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