Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace Inversa de uma função racional específica:
Isso significa que vamos transformar essa expressão no domínio de
de volta para o domínio do tempo
. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais para decompor a fração e depois usar as tabelas ou propriedades da Transformada de Laplace para encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração usando frações parciais. A ideia é escrever a expressão original como soma de termos mais simples que são mais fáceis de transformar inversamente. Nossa expressão é:
Vamos supor que ela pode ser decomposta da seguinte forma:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Vamos expandir o lado direito:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 4
Para encontrar
,
e
, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios dos dois lados da equação:
-
Coeficiente de
: -
Coeficiente de
: -
Termo constante:
Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver.
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
A partir da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
e
na terceira equação:
Agora, encontramos:
Passo 6
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
Vamos simplificar um pouco:
Passo 7
Agora, vamos identificar cada termo para aplicar a Transformada de Laplace Inversa.
-
Para o primeiro termo:
A inversa da Transformada deé . -
Para o segundo termo:
Vamos completar o quadrado no denominador:
Então, a inversa da Transformada deé . -
Para o terceiro termo:
Usando o denominador já completado:
A inversa da Transformada deé .
Passo 8
Aplicando as Transformadas de Laplace Inversas identificadas:
-
Para o primeiro termo:
-
Para o segundo termo:
Então,
-
Para o terceiro termo:
Passo 9
Simplificando os termos obtidos:
-
Primeiro termo:
-
Segundo termo:
-
Terceiro termo:
Agora, combinando os termos com
:
Simplificando a parte dos senos:
Passo 10
Finalmente, juntando tudo:
Podemos fatorar
nos dois últimos termos:
Resposta
A Transformada de Laplace Inversa é:
Exercícios relacionados
Utilizando o produto vetorial, encontre a distância do ponto
à reta definida pelo pelos pontos
e
.
(a) e
(a)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
, onde
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(b) e
(b)