Encontre a Transformada de Laplace Inversa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace Inversa de uma função racional específica:
Isso significa que vamos transformar essa expressão no domínio de de volta para o domínio do tempo . Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais para decompor a fração e depois usar as tabelas ou propriedades da Transformada de Laplace para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração usando frações parciais. A ideia é escrever a expressão original como soma de termos mais simples que são mais fáceis de transformar inversamente. Nossa expressão é:
Vamos supor que ela pode ser decomposta da seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Vamos expandir o lado direito:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:

Passo 4

Para encontrar , e , igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:
Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver.

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
A partir da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Agora, encontramos:

Passo 6

Com os valores de , e encontrados, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
Vamos simplificar um pouco:

Passo 7

Agora, vamos identificar cada termo para aplicar a Transformada de Laplace Inversa.
  1. Para o primeiro termo:

    A inversa da Transformada de é .
  2. Para o segundo termo:

    Vamos completar o quadrado no denominador:
    Então, a inversa da Transformada de é .
  3. Para o terceiro termo:

    Usando o denominador já completado:
    A inversa da Transformada de é .

Passo 8

Aplicando as Transformadas de Laplace Inversas identificadas:
  1. Para o primeiro termo:
  2. Para o segundo termo:

    Então,
  3. Para o terceiro termo:

Passo 9

Simplificando os termos obtidos:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
Agora, combinando os termos com :
Simplificando a parte dos senos:

Passo 10

Finalmente, juntando tudo:
Podemos fatorar nos dois últimos termos:

Resposta

A Transformada de Laplace Inversa é:

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