Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem e uma função delta de Dirac. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades da Transformada de Laplace e lidar com a função delta.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Como
e
, isso simplifica para:
Passo 3
Agora, transformamos a equação completa:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Vamos fatorar
:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Time de volta para o tempo real! Precisamos encontrar
usando a Transformada de Laplace inversa.
Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Mas temos o termo
, que na Transformada de Laplace corresponde a um “adiantamento” no tempo:
Aqui,
e
. Então:
Resposta
A solução da equação é
Exercícios relacionados
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
Utilizando o produto vetorial, encontre a distância do ponto
à reta definida pelo pelos pontos
e
.
(a) e
(a)
(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(b) e
(b)
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.