Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
y'' + 16y = delta(t - pi), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem e uma função delta de Dirac. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades da Transformada de Laplace e lidar com a função delta.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Como e , isso simplifica para:

Passo 3

Agora, transformamos a equação completa:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Vamos fatorar :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Time de volta para o tempo real! Precisamos encontrar usando a Transformada de Laplace inversa.
Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 6

Mas temos o termo , que na Transformada de Laplace corresponde a um “adiantamento” no tempo:
Aqui, e . Então:

Resposta

A solução da equação é

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