(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(a) e
(b) e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. Na primeira, a gente vai achar as equações paramétricas da reta onde dois planos se cruzam. Na segunda parte, a gente vai calcular o ângulo entre outros dois planos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de planos, vetores normais e fórmulas para determinar ângulos entre planos.
Passo 2
Parte (a): Encontrar as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos e .
Primeiro, vamos achar a reta onde esses dois planos se cruzam. Para isso, a gente pode resolver o sistema de equações formado pelos dois planos.
Temos:
Vamos subtrair a equação (1) da equação (2) para eliminar :
A partir da equação (3), podemos expressar em função de :
Agora, substituímos na equação (1) para encontrar :
Agora, escolhemos um parâmetro para expressar . Vamos chamar , onde é um parâmetro real.
Então, temos:
Portanto, as equações paramétricas da reta de interseção são:
Passo 3
Parte (b): Determinar o ângulo entre os planos e .
Para encontrar o ângulo entre dois planos, a gente precisa dos vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano da forma é .
Vamos identificar os vetores normais dos dois planos dados:
Para o plano :
Para o plano :
O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre os vetores normais. Podemos usar a fórmula do produto escalar para calcular esse ângulo:
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Agora, as magnitudes dos vetores:
Substituindo na fórmula:
Agora, para achar , usamos o arco cosseno:
Resposta
(a) As equações paramétricas da reta de interseção são , , .
(b) O ângulo entre os planos é aproximadamente .