(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(a) x + y + z = 1 e x + 2y + 2z = 1
(b) 3x - 2y + z = 1 e 2x + y - 3z = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. Na primeira, a gente vai achar as equações paramétricas da reta onde dois planos se cruzam. Na segunda parte, a gente vai calcular o ângulo entre outros dois planos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de planos, vetores normais e fórmulas para determinar ângulos entre planos.

Passo 2

Parte (a): Encontrar as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos e .
Primeiro, vamos achar a reta onde esses dois planos se cruzam. Para isso, a gente pode resolver o sistema de equações formado pelos dois planos.
Temos:
Vamos subtrair a equação (1) da equação (2) para eliminar :
A partir da equação (3), podemos expressar em função de :
Agora, substituímos na equação (1) para encontrar :
Agora, escolhemos um parâmetro para expressar . Vamos chamar , onde é um parâmetro real.
Então, temos:
Portanto, as equações paramétricas da reta de interseção são:

Passo 3

Parte (b): Determinar o ângulo entre os planos e .
Para encontrar o ângulo entre dois planos, a gente precisa dos vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano da forma é .
Vamos identificar os vetores normais dos dois planos dados:
Para o plano :
Para o plano :
O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre os vetores normais. Podemos usar a fórmula do produto escalar para calcular esse ângulo:
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Agora, as magnitudes dos vetores:
Substituindo na fórmula:
Agora, para achar , usamos o arco cosseno:

Resposta

(a) As equações paramétricas da reta de interseção são , , .
(b) O ângulo entre os planos é aproximadamente .

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(a) sumn=1^+infty 2+sen 3 nn;
Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equações diferenciais:
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y'' + 2y' + 2y = cos(t) + delta(t - pi/2), y(0) = 0, y'(0) = 0
Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equações diferenciais:
y'' + y' + (5/4) y = 1 - mho(t - pi), y(0) = 1, y'(0) = -1