(a) sumn=1^+infty 2+sen 3 nn;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo: precisamos analisar a série infinita sumn=1^+infty 2+sen 3nn. Esse exercício faz parte do estudo de séries numéricas e estamos interessados em determinar se essa série converge (tem uma soma finita) ou diverge (a soma cresce sem limites). Para resolver, vamos usar alguns critérios de convergência de séries, como o Teste da Comparação e entender como separar a série em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
sumn=1^+infty 2n + sumn=1^+infty sen 3nn
A primeira parte é sumn=1^+infty 2n e a segunda é sumn=1^+infty sen 3nn.

Passo 3

Vamos começar com a primeira série: sumn=1^+infty 2n. Essa é uma série harmônica multiplicada por 2. Sabemos que a série harmônica, sumn=1^+infty 1n, é uma série bem conhecida que diverge, ou seja, sua soma cresce indefinidamente. Multiplicar cada termo por 2 não muda esse comportamento; ela ainda diverge.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda série: sumn=1^+infty sen 3nn. A função seno, sen 3n, sempre oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de n. Portanto, sen 3nn está sempre entre -1n e 1n.

Passo 5

Para verificar a convergência dessa segunda série, podemos usar o Teste da Convergência Absoluta. Primeiro, olhamos para a série dos valores absolutos:
sumn=1^+infty |sen 3nn| <= sumn=1^+infty 1n
A série à direita, sumn=1^+infty 1n, é novamente a série harmônica conhecida que diverge. Como a série dos valores absolutos diverge, isso significa que a série original não converge absolutamente.

Passo 6

No entanto, a série sumn=1^+infty sen 3nn pode convergir condicionalmente. Isso ocorre porque, mesmo sem converger absolutamente, os termos estão alternando em sinal e diminuindo de magnitude, o que pode levar à convergência pela Alternância de séries. De fato, essa série converge condicionalmente.

Passo 7

Agora, voltando à série original, ela é a soma de uma série que diverge ( sumn=1^+infty 2n) e uma que converge condicionalmente ( sumn=1^+infty sen 3nn). Quando somamos uma série divergente com uma que converge, o resultado ainda é uma série que diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 2+sen 3nn diverge.

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