Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo: precisamos analisar a série infinita . Esse exercício faz parte do estudo de séries numéricas e estamos interessados em determinar se essa série converge (tem uma soma finita) ou diverge (a soma cresce sem limites). Para resolver, vamos usar alguns critérios de convergência de séries, como o Teste da Comparação e entender como separar a série em partes mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
A primeira parte é e a segunda é .
Passo 3
Vamos começar com a primeira série: . Essa é uma série harmônica multiplicada por 2. Sabemos que a série harmônica, , é uma série bem conhecida que diverge, ou seja, sua soma cresce indefinidamente. Multiplicar cada termo por 2 não muda esse comportamento; ela ainda diverge.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda série: . A função seno, , sempre oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de n. Portanto, está sempre entre e .
Passo 5
Para verificar a convergência dessa segunda série, podemos usar o Teste da Convergência Absoluta. Primeiro, olhamos para a série dos valores absolutos:
A série à direita, sumn=1^+infty 1n, é novamente a série harmônica conhecida que diverge. Como a série dos valores absolutos diverge, isso significa que a série original não converge absolutamente.
Passo 6
No entanto, a série sumn=1^+infty sen 3nn pode convergir condicionalmente. Isso ocorre porque, mesmo sem converger absolutamente, os termos estão alternando em sinal e diminuindo de magnitude, o que pode levar à convergência pela Alternância de séries. De fato, essa série converge condicionalmente.
Passo 7
Agora, voltando à série original, ela é a soma de uma série que diverge (sumn=1^+infty 2n) e uma que converge condicionalmente (sumn=1^+infty sen 3nn). Quando somamos uma série divergente com uma que converge, o resultado ainda é uma série que diverge.