Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equações diferenciais:
y'' + y = t/2 * m(t - 6), y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e também como lidar com a função Heaviside .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que:
Substituindo na equação:

Passo 3

Simplificamos a equação:
Isolamos :

Passo 4

Agora, separamos os termos:
Usamos a propriedade da Transformada de Laplace que envolve atraso no tempo, que é:

Passo 5

Aplicamos a Transformada inversa para encontrar :
Sabemos que:

Passo 6

Calculamos as inversas das frações restantes:
Para :
Usando frações parciais, obtemos:
Então,
Para :
Novamente, usando frações parciais:
Então,

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 8

Simplificamos a expressão final:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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A lei de Coulomb afirma que o módulo da força de atração entre duas partículas carregadas opostamente é diretamente proporcional ao produto dos módulos q1 e q2 das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância d entre elas. Mostre que se uma partícula com carga +q é fixada em um ponto A e uma partícula com carga -1 é colocada em B, então a força de atração F em A é dada por
F = k * q / ||AB||^3 * BA
para uma constante positiva k.
As equações diferenciais abaixo possuem um ponto singular regular x0 = 0. Use o método de Frobenius para calcular a solução da EDO em torno de x_0.
x^2 y'' + (x^2 + 1/4) y = 0
(a) sumn=1^+infty 2+sen 3 nn;
(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(a) x + y + z = 1 e x + 2y + 2z = 1
(b) 3x - 2y + z = 1 e 2x + y - 3z = 3