Seja . Calcule a distância entre as retas e .
(a) .
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos calcular a distância entre as retas e . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar das equações paramétricas ou vetoriais das retas e usar a fórmula de distância entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas e .
Para a reta :
Podemos escrever a reta na forma paramétrica:
onde é o parâmetro.
Para a reta :
Aqui, já temos a forma vetorial da reta , onde é o parâmetro.
Passo 3
Para encontrar a distância entre as retas e , vamos verificar se elas são paralelas ou se cruzam. Se não forem nem paralelas nem coplanares (ou seja, retas espaciais não coplanárias), elas são chamadas de retas “skew” e a distância entre elas é a menor distância entre quaisquer dois pontos das retas.
Calculamos agora a norma do produto vetorial |dr times ds| = raiz(-12)^2 + (-9)^2 + (-36)^2 = raiz144 + 81 + 1296 = raiz1521 = 39 :
Passo 9
Agora, vamos calcular a distância entre as retas e . Novamente, trabalharemos com geometria analítica no espaço tridimensional, utilizando as equações paramétricas ou vetoriais das retas e aplicando a fórmula de distância entre retas.
Passo 10
Primeiro, identificamos as equações das retas t: X = (0, 1, 0) + lambda(0, 6, 1) e h: x = y - 6, z + 8 = 2x - 3 .
Para a reta z = mu x = z + 32 = mu + 32 y = x + 6 = mu + 32 + 6 = mu + 152 :
h: x = 32 + mu2 y = 6 + 152 + mu2 z = mu
Aqui, h: X = (32, 6, 0) + mu(12, 12, 1) é o parâmetro.
Para a reta :
Vamos reescrever a reta na forma paramétrica. Podemos expressar em função de algum parâmetro. Vamos escolher .
Assim:
Portanto, a parametrização da reta é:
Ou na forma vetorial:
Passo 11
Com as equações das retas e , vamos identificar os vetores diretores.
Para : vetor diretor
Para : vetor diretor
Passo 12
Vamos verificar se as retas são paralelas ou não. Se não forem, precisamos verificar se são coplanares ou “skew”.
Como o produto vetorial não é zero, as retas não são paralelas.
Passo 13
Agora, vamos encontrar um vetor que une um ponto de PQ = Q - P = (32 - 0, 6 - 1, 0 - 0) = (32, 5, 0) a um ponto de . Vamos pegar de quando : e de quando : . O vetor é:
Passo 14
A distância D = |dt times dh cdot PQ||dt times dh| entre as retas e é dada pela fórmula: