Seja lambda in R. Calcule a distância entre as retas r e s.
(a) r: (x+4)3=y4=(z+5)-2, s: X=(21 ;-5 ; 2)+lambda(6 ;-4 ;-1).
(b) t: X=(0 ; 1 ; 0)+lambda(0 ; 6 ; 1), h: x=y-6 z+8=2 x-3.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a distância entre as retas e . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar das equações paramétricas ou vetoriais das retas e usar a fórmula de distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas (x + 4)3 = y4 = (z + 5)-2 e r: x = -4 + 3t y = 0 + 4t z = -5 - 2t .
Para a reta s: X = (21, -5, 2) + lambda(6, -4, -1) :
Podemos escrever a reta na forma paramétrica:
onde é o parâmetro.
Para a reta :
Aqui, já temos a forma vetorial da reta , onde é o parâmetro.

Passo 3

Para encontrar a distância entre as retas e , vamos verificar se elas são paralelas ou se cruzam. Se não forem nem paralelas nem coplanares (ou seja, retas espaciais não coplanárias), elas são chamadas de retas “skew” e a distância entre elas é a menor distância entre quaisquer dois pontos das retas.

Passo 4

Identificando os vetores diretores das retas:
Para PQ = Q - P = (21 - (-4), -5 - 0, 2 - (-5)) = (25, -5, 7) : vetor diretor
Para : vetor diretor
Agora, vamos encontrar o vetor que une um ponto de a um ponto de . Vamos pegar os pontos de quando : e de quando : . O vetor é:

Passo 5

A distância D = |dr times ds cdot PQ||dr times ds| entre as retas e pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde representa o produto vetorial e o produto escalar.

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto vetorial dr times ds = i & j & k 3 & 4 & -2 6 & -4 & -1 = i(4 cdot (-1) - (-2) cdot (-4)) - j(3 cdot (-1) - (-2) cdot 6) + k(3 cdot (-4) - 4 cdot 6) :
= i(-4 - 8) - j(-3 - (-12)) + k(-12 - 24)
= i(-12) - j(9) + k(-36) = (-12, -9, -36)

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar (-12, -9, -36) cdot (25, -5, 7) = (-12)(25) + (-9)(-5) + (-36)(7) = -300 + 45 - 252 = -507 :
O valor absoluto é .

Passo 8

Calculamos agora a norma do produto vetorial |dr times ds| = raiz(-12)^2 + (-9)^2 + (-36)^2 = raiz144 + 81 + 1296 = raiz1521 = 39 :

Passo 9

Agora, vamos calcular a distância entre as retas e . Novamente, trabalharemos com geometria analítica no espaço tridimensional, utilizando as equações paramétricas ou vetoriais das retas e aplicando a fórmula de distância entre retas.

Passo 10

Primeiro, identificamos as equações das retas t: X = (0, 1, 0) + lambda(0, 6, 1) e h: x = y - 6, z + 8 = 2x - 3 .
Para a reta z = mu x = z + 32 = mu + 32 y = x + 6 = mu + 32 + 6 = mu + 152 :
h: x = 32 + mu2 y = 6 + 152 + mu2 z = mu
Aqui, h: X = (32, 6, 0) + mu(12, 12, 1) é o parâmetro.
Para a reta :
Vamos reescrever a reta na forma paramétrica. Podemos expressar em função de algum parâmetro. Vamos escolher .
Assim:
Portanto, a parametrização da reta é:
Ou na forma vetorial:

Passo 11

Com as equações das retas e , vamos identificar os vetores diretores.
Para : vetor diretor
Para : vetor diretor

Passo 12

Vamos verificar se as retas são paralelas ou não. Se não forem, precisamos verificar se são coplanares ou “skew”.
Calculamos o produto vetorial dt times dh = i & j & k 0 & 6 & 1 12 & 12 & 1 = i(6 cdot 1 - 1 cdot 12) - j(0 cdot 1 - 1 cdot 12) + k(0 cdot 12 - 6 cdot 12) :
= i(6 - 12) - j(0 - 12) + k(0 - 3) = i(112) + j(12) - k(3)
= (112, 12, -3)
Como o produto vetorial não é zero, as retas não são paralelas.

Passo 13

Agora, vamos encontrar um vetor que une um ponto de PQ = Q - P = (32 - 0, 6 - 1, 0 - 0) = (32, 5, 0) a um ponto de . Vamos pegar de quando : e de quando : . O vetor é:

Passo 14

A distância D = |dt times dh cdot PQ||dt times dh| entre as retas e é dada pela fórmula:

Passo 15

Calculamos o produto escalar (112, 12, -3) cdot (32, 5, 0) = 112 cdot 32 + 12 cdot 5 + (-3) cdot 0 = 334 + 52 + 0 = 334 + 104 = 434 :
O valor absoluto é .

Passo 16

Calculamos a norma do produto vetorial |(112, 12, -3)| = raiz(112)^2 + (12)^2 + (-3)^2 = raiz1214 + 14 + 9 = raiz1224 + 9 = raiz30.5 + 9 = raiz39.5 approx 6.28 :

Resposta

A distância entre as retas D approx 4346.28 approx 10.756.28 approx 1.713 e é aproximadamente:

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