Seja . Calcule a distância entre as retas e .
(a) .
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a distância entre as retas e . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar das equações paramétricas ou vetoriais das retas e usar a fórmula de distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas e .
Para a reta :
Podemos escrever a reta na forma paramétrica:
onde é o parâmetro.
Para a reta :
Aqui, já temos a forma vetorial da reta , onde é o parâmetro.

Passo 3

Para encontrar a distância entre as retas e , vamos verificar se elas são paralelas ou se cruzam. Se não forem nem paralelas nem coplanares (ou seja, retas espaciais não coplanárias), elas são chamadas de retas “skew” e a distância entre elas é a menor distância entre quaisquer dois pontos das retas.

Passo 4

Identificando os vetores diretores das retas:
Para : vetor diretor
Para : vetor diretor
Agora, vamos encontrar o vetor que une um ponto de a um ponto de . Vamos pegar os pontos de quando : e de quando : . O vetor é:

Passo 5

A distância entre as retas e pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde representa o produto vetorial e o produto escalar.

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto vetorial :

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar :
O valor absoluto é .

Passo 8

Calculamos agora a norma do produto vetorial :

Passo 9

Agora, vamos calcular a distância entre as retas e . Novamente, trabalharemos com geometria analítica no espaço tridimensional, utilizando as equações paramétricas ou vetoriais das retas e aplicando a fórmula de distância entre retas.

Passo 10

Primeiro, identificamos as equações das retas e .
Para a reta :
Aqui, é o parâmetro.
Para a reta :
Vamos reescrever a reta na forma paramétrica. Podemos expressar em função de algum parâmetro. Vamos escolher .
Assim:
Portanto, a parametrização da reta é:
Ou na forma vetorial:

Passo 11

Com as equações das retas e , vamos identificar os vetores diretores.
Para : vetor diretor
Para : vetor diretor

Passo 12

Vamos verificar se as retas são paralelas ou não. Se não forem, precisamos verificar se são coplanares ou “skew”.
Calculamos o produto vetorial :
Como o produto vetorial não é zero, as retas não são paralelas.

Passo 13

Agora, vamos encontrar um vetor que une um ponto de a um ponto de . Vamos pegar de quando : e de quando : . O vetor é:

Passo 14

A distância entre as retas e é dada pela fórmula:

Passo 15

Calculamos o produto escalar :
O valor absoluto é .

Passo 16

Calculamos a norma do produto vetorial :

Resposta

A distância entre as retas e é aproximadamente:

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Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial dado.
(d) e , sendo dados.
Mostre que a transformação linear , definida por é um automorfismo e determine .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e intersecta a
Sejam e as retas definidas pelas seguintes equações:
Sabendo que e são paralelas, calcule:
(a) A distância entre elas, ;
(b) A equação do plano definido por elas, .