Seja . Calcule a distância entre as retas e .
(a) .
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos calcular a distância entre as retas e . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar das equações paramétricas ou vetoriais das retas e usar a fórmula de distância entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas e .
Para a reta :
Podemos escrever a reta na forma paramétrica:
onde é o parâmetro.
Para a reta :
Aqui, já temos a forma vetorial da reta , onde é o parâmetro.
Passo 3
Para encontrar a distância entre as retas e , vamos verificar se elas são paralelas ou se cruzam. Se não forem nem paralelas nem coplanares (ou seja, retas espaciais não coplanárias), elas são chamadas de retas “skew” e a distância entre elas é a menor distância entre quaisquer dois pontos das retas.
Passo 4
Identificando os vetores diretores das retas:
Para : vetor diretor
Para : vetor diretor
Agora, vamos encontrar o vetor que une um ponto de a um ponto de . Vamos pegar os pontos de quando : e de quando : . O vetor é:
Passo 5
A distância entre as retas e pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde representa o produto vetorial e o produto escalar.
Passo 6
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar :
O valor absoluto é .
Passo 8
Calculamos agora a norma do produto vetorial :
Passo 9
Agora, vamos calcular a distância entre as retas e . Novamente, trabalharemos com geometria analítica no espaço tridimensional, utilizando as equações paramétricas ou vetoriais das retas e aplicando a fórmula de distância entre retas.
Passo 10
Primeiro, identificamos as equações das retas e .
Para a reta :
Aqui, é o parâmetro.
Para a reta :
Vamos reescrever a reta na forma paramétrica. Podemos expressar em função de algum parâmetro. Vamos escolher .
Assim:
Portanto, a parametrização da reta é:
Ou na forma vetorial:
Passo 11
Com as equações das retas e , vamos identificar os vetores diretores.
Para : vetor diretor
Para : vetor diretor
Passo 12
Vamos verificar se as retas são paralelas ou não. Se não forem, precisamos verificar se são coplanares ou “skew”.
Calculamos o produto vetorial :
Como o produto vetorial não é zero, as retas não são paralelas.
Passo 13
Agora, vamos encontrar um vetor que une um ponto de a um ponto de . Vamos pegar de quando : e de quando : . O vetor é: