Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
dado.
(d)
e
, sendo
dados.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar os critérios que definem um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição de vetores e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Se substituirmos esses valores na equação
, temos:
Que obviamente resulta em 0, então o vetor zero está em
. Isso verifica a primeira condição.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Suponha que:
Então, temos:
Somando essas duas equações:
Portanto,
também satisfaz a condição de
, ou seja, está em
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se
está em
e
é um escalar qualquer, então
também deve estar em
.
Seja
, então:
Multiplicando cada componente de
por
:
Substituindo na equação de
:
Assim,
também satisfaz a condição de
, ou seja, está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.