Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial dado.
(d) e , sendo dados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar os critérios que definem um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição de vetores e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Se substituirmos esses valores na equação , temos:
Que obviamente resulta em 0, então o vetor zero está em . Isso verifica a primeira condição.

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em .
Suponha que:
Então, temos:
Somando essas duas equações:
Portanto, também satisfaz a condição de , ou seja, está em . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se está em e é um escalar qualquer, então também deve estar em .
Seja , então:
Multiplicando cada componente de por :
Substituindo na equação de :
Assim, também satisfaz a condição de , ou seja, está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço do espaço vetorial .

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(a) .
(b) .
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