Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V dado.
(d) V=R^n e W=(x1, x2, ldots, xn) in R^n: sumi=1^n cj xj=0, sendo cj in R, j=1, ldots, n dados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar os critérios que definem um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição de vetores e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em sumj=1^n cj cdot 0 = 0 . O vetor zero em é . Se substituirmos esses valores na equação , temos:
Que obviamente resulta em 0, então o vetor zero está em . Isso verifica a primeira condição.

Passo 3

Agora, vamos ver se u = (u1, u2, ldots, un) in W e v = (v1, v2, ldots, vn) in W é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer sumj=1^n cj uj = 0 e sumj=1^n cj vj = 0 e sumj=1^n cj (uj + vj) = sumj=1^n cj uj + sumj=1^n cj vj = 0 + 0 = 0 em , a soma também deve estar em .
Suponha que:
Então, temos:
Somando essas duas equações:
Portanto, também satisfaz a condição de , ou seja, está em . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se sumj=1^n cj uj = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se ku = (k u1, k u2, ldots, k un) está em sumj=1^n cj (k uj) = k sumj=1^n cj uj = k cdot 0 = 0 e é um escalar qualquer, então também deve estar em .
Seja , então:
Multiplicando cada componente de por :
Substituindo na equação de :
Assim, também satisfaz a condição de , ou seja, está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço do espaço vetorial .

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