Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A = (1, 5, 4) e
(a) é paralela à reta de equações paramétricas r: { x = 1 - t, y = 20 + 2t, t em R, z = t }.
(b) é paralela à reta determinada pelos pontos B = (1, 1, 1) e C = (0, 1, -1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto . Temos duas situações:
(a) A reta que queremos é paralela a uma reta dada pelas equações:
(b) A reta que queremos é paralela a uma reta determinada pelos pontos e .
Vamos precisar usar o conceito de vetor diretor para determinar a direção da nova reta e depois escrever as equações paramétricas usando o ponto .

Passo 2

Parte (a):
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta . As equações paramétricas da reta são:
O vetor diretor é formado pelos coeficientes de em cada uma das equações:
Como a reta que queremos é paralela a , ela terá o mesmo vetor diretor.

Passo 3

Agora, usando o ponto e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da nova reta:
Onde e .

Passo 4

Substituindo os valores:

Passo 5

Parte (b):
Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta determinada pelos pontos e .
Primeiro, calculamos o vetor :
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 6

Usando o ponto e o vetor diretor , escrevemos as equações paramétricas da nova reta:

Resposta

(a) As equações paramétricas da reta são:
(b) As equações paramétricas da reta são:

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