Resolva a EDO de segunda ordem abaixo, reduzindo-a a uma EDO de primeira ordem, sabendo que
Passo 1
Então, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
. A matéria envolvida aqui é a resolução de EDOs de segunda ordem, e para isso, vamos precisar usar o método de redução de ordem, já que sabemos que uma solução é
.
Passo 2
Como já temos uma solução
, podemos procurar uma segunda solução
na forma
. Isso significa que
. A ideia aqui é usar uma função desconhecida
para encontrar a segunda solução.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação original
, temos:
Simplificando:
Essa é uma EDO de primeira ordem para
. Vamos chamar
, então:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação
. Essa é uma equação linear de primeira ordem cuja solução geral é:
Integrando
:
Onde
e
são constantes de integração. Podemos absorver
em
sem perda de generalidade, então:
Resposta
A segunda solução é
. Portanto, a solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.