Resolva a EDO de segunda ordem abaixo, reduzindo-a a uma EDO de primeira ordem, sabendo que y1 = e^x
y'' - y = 0

Passo 1

Então, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem: . A matéria envolvida aqui é a resolução de EDOs de segunda ordem, e para isso, vamos precisar usar o método de redução de ordem, já que sabemos que uma solução é .

Passo 2

Como já temos uma solução , podemos procurar uma segunda solução na forma . Isso significa que . A ideia aqui é usar uma função desconhecida para encontrar a segunda solução.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:

Passo 4

Substituindo , e na equação original , temos:
Simplificando:
Essa é uma EDO de primeira ordem para . Vamos chamar , então:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação . Essa é uma equação linear de primeira ordem cuja solução geral é:
Integrando :
Onde e são constantes de integração. Podemos absorver em sem perda de generalidade, então:

Resposta

A segunda solução é . Portanto, a solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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