Determine a solução geral das edo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Pra resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação numa forma que facilita encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:

Passo 3

Calculando a integral de :
Sabemos que , então:
Portanto, o fator integrante é:
Usando propriedades dos logaritmos e exponenciais:
Como está no denominador e provavelmente é positivo no contexto do problema, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Agora, a esquerda da equação é a derivada do produto do fator integrante com :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
E o lado direito:
Então temos:

Passo 6

Agora, isolamos para encontrar a solução geral:
Podemos distribuir se quisermos, mas geralmente deixamos assim para simplificar a expressão.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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