Determine a solução geral das edo y' - 2xy/(x^2 + 1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . A gente vai usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisamos identificar os componentes da equação e aplicar o método do fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é . No nosso caso, temos:
Então, identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai ajudar a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Se , então . Assim:
Então, o fator integrante fica:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para tornar o lado esquerdo uma derivada exata:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de . Ou seja:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo nos dá:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Finalmente, isolando , a solução geral da equação diferencial é:

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