Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(3,2,1) e é simultaneamente ortogonal às retas
r: x2=y-1=z-3-2 e r:ly=3 x-1 z=-x+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é ortogonal a duas retas dadas. Aqui, estamos lidando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar uma reta que seja perpendicular a duas outras retas, ou seja, precisamos encontrar um vetor diretor que seja ortogonal aos vetores diretores das retas dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas fornecidas. Olhando para a primeira reta:
r: x2 = y-1 = z-3-2
Podemos escrever essa reta na forma vetorial:
r1 = a1 + t cdot d1
Onde é o vetor diretor da primeira reta.

Passo 3

Agora, para a segunda reta, temos o sistema de equações:
y = 3x - 1 z = -x + 4
Podemos parametrizar essa reta escolhendo y = 3t - 1 z = -t + 4 , então:
Então, o vetor diretor da segunda reta é .

Passo 4

Queremos que a reta que estamos procurando seja ortogonal a ambas as retas dadas. Isso significa que o vetor diretor d = d1 times d2 da nossa reta desejada deve ser ortogonal a d = i & j & k 2 & -1 & -2 1 & 3 & -1 e d = i((-1)(-1) - (-2)(3)) - j((2)(-1) - (-2)(1)) + k((2)(3) - (-1)(1)) . Para encontrar um vetor ortogonal a dois vetores, usamos o produto vetorial:
d = i(1 + 6) - j(-2 + 2) + k(6 + 1)
Vamos calcular isso:
d = 7i + 0j + 7k
Então, .

Passo 5

Agora que temos o vetor diretor x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e sabemos que a reta passa pelo ponto x = 3 + 7t y = 2 + 0t z = 1 + 7t , podemos escrever as equações paramétricas da reta:
x = 3 + 7t y = 2 z = 1 + 7t
Onde e .
Portanto:
Simplificando:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 3 + 7t y = 2 z = 1 + 7t

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