Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é simultaneamente ortogonal às retas e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é ortogonal a duas retas dadas. Aqui, estamos lidando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar uma reta que seja perpendicular a duas outras retas, ou seja, precisamos encontrar um vetor diretor que seja ortogonal aos vetores diretores das retas dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas fornecidas. Olhando para a primeira reta:
Podemos escrever essa reta na forma vetorial:
Onde é o vetor diretor da primeira reta.
Passo 3
Agora, para a segunda reta, temos o sistema de equações:
Podemos parametrizar essa reta escolhendo , então:
Então, o vetor diretor da segunda reta é .
Passo 4
Queremos que a reta que estamos procurando seja ortogonal a ambas as retas dadas. Isso significa que o vetor diretor da nossa reta desejada deve ser ortogonal a e . Para encontrar um vetor ortogonal a dois vetores, usamos o produto vetorial:
Vamos calcular isso:
Então, .
Passo 5
Agora que temos o vetor diretor x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e sabemos que a reta passa pelo ponto x = 3 + 7t y = 2 + 0t z = 1 + 7t , podemos escrever as equações paramétricas da reta: