Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (quando for possível) da reta que
a) Passa pelo ponto e tem vetor diretor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar diferentes formas de representar uma reta no espaço tridimensional. A reta passa pelo ponto e tem um vetor diretor . Para isso, vamos precisar entender:
Equação Vetorial: Representa a reta usando um ponto e um vetor diretor.
Equações Paramétricas: Expressam as coordenadas , e em função de um parâmetro .
Equações Simétricas: Relacionam as coordenadas , e diretamente.
Equação Reduzida: É uma forma simplificada das equações simétricas.
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Equação Vetorial
A equação vetorial de uma reta é dada por:
Onde:
é o vetor posição qualquer ponto da reta.
é o vetor posição do ponto dado (nesse caso, ).
é o vetor diretor .
é um parâmetro real.
Substituindo os valores:
Passo 3
Equações Paramétricas
As equações paramétricas separam cada coordenada em relação ao parâmetro . A forma geral é:
Onde é o ponto dado e são as componentes do vetor diretor.
Aplicando os valores:
Passo 4
Equações Simétricas
As equações simétricas relacionam as diferenças das coordenadas com o vetor diretor, eliminando o parâmetro x - x0a = y - y0b = z - z0c . A forma geral é:
x - 1-3 = y - 22 = z - 15
Substituindo:
Passo 5
Equação Reduzida
A equação reduzida é uma simplificação das equações simétricas, geralmente isolando uma das coordenadas. Porém, no contexto tridimensional, a forma simétrica já é bastante compacta. Assim, a equação simétrica acima já serve como equação reduzida.