Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (quando for possível) da reta que
a) Passa pelo ponto P=(1,2,1) e tem vetor diretor v=(-3,2,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar diferentes formas de representar uma reta no espaço tridimensional. A reta passa pelo ponto e tem um vetor diretor . Para isso, vamos precisar entender:
  • Equação Vetorial: Representa a reta usando um ponto e um vetor diretor.
  • Equações Paramétricas: Expressam as coordenadas , e em função de um parâmetro .
  • Equações Simétricas: Relacionam as coordenadas , e diretamente.
  • Equação Reduzida: É uma forma simplificada das equações simétricas.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Equação Vetorial
A equação vetorial de uma reta é dada por:
r = P + t cdot v
Onde:
  • r = (1, 2, 1) + t cdot (-3, 2, 5) é o vetor posição qualquer ponto da reta.
  • é o vetor posição do ponto dado (nesse caso, ).
  • é o vetor diretor .
  • é um parâmetro real.
Substituindo os valores:

Passo 3

Equações Paramétricas
As equações paramétricas separam cada coordenada em relação ao parâmetro x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t . A forma geral é:
x = 1 - 3t y = 2 + 2t z = 1 + 5t
Onde é o ponto dado e são as componentes do vetor diretor.
Aplicando os valores:

Passo 4

Equações Simétricas
As equações simétricas relacionam as diferenças das coordenadas com o vetor diretor, eliminando o parâmetro x - x0a = y - y0b = z - z0c . A forma geral é:
x - 1-3 = y - 22 = z - 15
Substituindo:

Passo 5

Equação Reduzida
A equação reduzida é uma simplificação das equações simétricas, geralmente isolando uma das coordenadas. Porém, no contexto tridimensional, a forma simétrica já é bastante compacta. Assim, a equação simétrica acima já serve como equação reduzida.

Resposta

As equações da reta são:
  • Equação Vetorial:
r = (1, 2, 1) + t cdot (-3, 2, 5)
  • Equações Paramétricas:
x = 1 - 3t y = 2 + 2t z = 1 + 5t
  • Equações Simétricas:
x - 1-3 = y - 22 = z - 15
  • Equação Reduzida:
x - 1-3 = y - 22 = z - 15

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