Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: A(1,2,3), B(1,3,2).
15. O ponto P(m, 1, n) pertence a reta que passa por A(3,-1,4) e B(4,-3,-1). Determine P.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as coordenadas do ponto que está na reta que passa pelos pontos e . Vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a direção da reta que passa pelos pontos AB = B - A = (4-3, -3-(-1), -1-4) = (1, -2, -5) e . Para isso, calculamos o vetor diretor subtraindo as coordenadas de de :

Passo 3

Com o vetor diretor, podemos escrever as equações paramétricas da reta. Se escolhermos o ponto x = 3 + t cdot 1 y = -1 + t cdot (-2) z = 4 + t cdot (-5) como ponto de referência, as equações ficam:
Onde é o parâmetro.

Passo 4

Sabemos que o ponto m = 3 + t 1 = -1 - 2t n = 4 - 5t está nessa reta, então suas coordenadas devem satisfazer as equações paramétricas. Vamos igualar cada coordenada:

Passo 5

Agora, vamos resolver para 1 = -1 - 2t 2t = -2 t = -1 usando a segunda equação:

Passo 6

Com m = 3 + (-1) = 2 n = 4 - 5(-1) = 4 + 5 = 9 , substituímos nas outras equações para encontrar e :

Resposta

O ponto é .

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