Dois universitários, Alberto e Breno, moram na mesma cidade e estão em pontos diferentes,
e
respectivamente. A distância entre eles é de
. Está chovendo, e eles estão conversando pelo celular quando um deles ouve um trovão forte. Depois de alguns segundos o outro também ouve o trovão. Alberto diz a Breno que irá desenhar no mapa da cidade uma curva mostrando onde o raio pode ter caído. Usando a velocidade do som, Alberto conclui que o ponto
onde o raio caiu tem que satisfazer a seguinte propriedade
. Breno sugere que Alberto use um sistema de coordenadas usando 1 Km como unidade e com a origem exatamente no ponto médio entre
e
de modo que
fique numa coordenada positiva do eixo
.
Alguns minutos depois, Alberto recebe uma notícia dizendo que o raio danificou a linha de trem que passa próximo deles. Olhando no mapa, Breno estima que a linha situa-se praticamente na reta
. Breno diz que consegue descobrir a primeira coordenada do ponto
onde o raio caiu pois sabe que Alberto ouviu o trovão primeiro.
Qual é o valor da primeira coordenada do ponto
?
Alguns minutos depois, Alberto recebe uma notícia dizendo que o raio danificou a linha de trem que passa próximo deles. Olhando no mapa, Breno estima que a linha situa-se praticamente na reta
Qual é o valor da primeira coordenada do ponto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está dizendo. Temos dois amigos, Alberto e Breno, que moram em pontos diferentes de uma cidade, separados por 2,2 km. Durante uma tempestade, um deles ouve um trovão antes do outro. Usando a velocidade do som, Alberto conclui que o ponto onde o raio caiu, chamado de ponto
, deve satisfazer a condição
km. Breno sugere usar um sistema de coordenadas com 1 km como unidade, colocando a origem no ponto médio entre
e
, e
fica em uma coordenada positiva do eixo
.
Depois, descobrimos que o raio danificou uma linha de trem que está aproximadamente na reta
. Breno afirma que consegue descobrir a primeira coordenada de
sabendo que Alberto ouviu o trovão primeiro. Vamos resolver isso passo a passo, usando conceitos de geometria e equações de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer o sistema de coordenadas conforme sugerido. Como a distância entre
e
é de 2,2 km, o ponto médio fica a 1,1 km de cada um. Mas como estamos usando 1 km como unidade, vamos arredondar para simplificar os cálculos:
- A origem
fica no ponto médio entre e . - Assim,
estará em e em .
Passo 3
A condição dada é
km. Isso descreve uma hipérbole, onde a diferença das distâncias de qualquer ponto
aos dois focos
e
é constante.
Vamos escrever as distâncias:
Então, a condição fica:
Passo 4
Sabemos que a linha de trem está na reta
, então o ponto
está sobre essa linha. Vamos substituir
na equação da hipérbole:
Simplificando:
Passo 5
Como Alberto ouviu o trovão primeiro, isso significa que o ponto
está mais próximo de
do que de
. Portanto, podemos remover o valor absoluto e estabelecer que:
Passo 6
Vamos resolver essa equação passo a passo. Primeiro, isolamos uma das raízes:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Cancelamos
e simplificamos os termos:
Passo 7
Vamos reagrupar os termos:
Dividindo ambos os lados por 3,6:
Simplificando:
Notamos que o lado esquerdo precisa ser positivo, já que a raiz é sempre positiva. Portanto, apenas consideramos soluções onde
, ou seja,
.
Passo 8
Elevamos ambos os lados novamente ao quadrado:
Calculando o quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 12,96 para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 9
Resolvendo para
:
Como já vimos que
, descartamos a solução positiva:
Resposta
A primeira coordenada do ponto
onde o raio caiu é aproximadamente
km.
Exercícios relacionados
Determine as equações paramétricas da reta
, determinada pelos seguintes pontos:
e
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, determinada pelos seguintes pontos:
e
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, determinada pelos seguintes pontos:
e
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, determinada pelos seguintes pontos:
e