Dois universitários, Alberto e Breno, moram na mesma cidade e estão em pontos diferentes, A e B respectivamente. A distância entre eles é de 2,2 Km. Está chovendo, e eles estão conversando pelo celular quando um deles ouve um trovão forte. Depois de alguns segundos o outro também ouve o trovão. Alberto diz a Breno que irá desenhar no mapa da cidade uma curva mostrando onde o raio pode ter caído. Usando a velocidade do som, Alberto conclui que o ponto P onde o raio caiu tem que satisfazer a seguinte propriedade |d(P, A)-d(P, B)|=1,8 Km. Breno sugere que Alberto use um sistema de coordenadas usando 1 Km como unidade e com a origem exatamente no ponto médio entre A e B de modo que A fique numa coordenada positiva do eixo x.
Alguns minutos depois, Alberto recebe uma notícia dizendo que o raio danificou a linha de trem que passa próximo deles. Olhando no mapa, Breno estima que a linha situa-se praticamente na reta y=2. Breno diz que consegue descobrir a primeira coordenada do ponto P onde o raio caiu pois sabe que Alberto ouviu o trovão primeiro.
Qual é o valor da primeira coordenada do ponto P ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está dizendo. Temos dois amigos, Alberto e Breno, que moram em pontos diferentes de uma cidade, separados por 2,2 km. Durante uma tempestade, um deles ouve um trovão antes do outro. Usando a velocidade do som, Alberto conclui que o ponto onde o raio caiu, chamado de ponto , deve satisfazer a condição km. Breno sugere usar um sistema de coordenadas com 1 km como unidade, colocando a origem no ponto médio entre e , e fica em uma coordenada positiva do eixo .
Depois, descobrimos que o raio danificou uma linha de trem que está aproximadamente na reta . Breno afirma que consegue descobrir a primeira coordenada de sabendo que Alberto ouviu o trovão primeiro. Vamos resolver isso passo a passo, usando conceitos de geometria e equações de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer o sistema de coordenadas conforme sugerido. Como a distância entre e é de 2,2 km, o ponto médio fica a 1,1 km de cada um. Mas como estamos usando 1 km como unidade, vamos arredondar para simplificar os cálculos:
  • A origem fica no ponto médio entre e .
  • Assim, estará em e em .

Passo 3

A condição dada é d(P, A) = raiz(x - 1)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x - 1)^2 + y^2 km. Isso descreve uma hipérbole, onde a diferença das distâncias de qualquer ponto d(P, B) = raiz(x + 1)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x + 1)^2 + y^2 aos dois focos |raiz(x - 1)^2 + y^2 - raiz(x + 1)^2 + y^2| = 1,8 e é constante.
Vamos escrever as distâncias:
Então, a condição fica:

Passo 4

Sabemos que a linha de trem está na reta |raiz(x - 1)^2 + 2^2 - raiz(x + 1)^2 + 2^2| = 1,8 , então o ponto |raiz(x - 1)^2 + 4 - raiz(x + 1)^2 + 4| = 1,8 está sobre essa linha. Vamos substituir na equação da hipérbole:
Simplificando:

Passo 5

Como Alberto ouviu o trovão primeiro, isso significa que o ponto raiz(x - 1)^2 + 4 - raiz(x + 1)^2 + 4 = 1,8 está mais próximo de do que de . Portanto, podemos remover o valor absoluto e estabelecer que:

Passo 6

Vamos resolver essa equação passo a passo. Primeiro, isolamos uma das raízes:
raiz(x - 1)^2 + 4 = raiz(x + 1)^2 + 4 + 1,8
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 1)^2 + 4 = (raiz(x + 1)^2 + 4 + 1,8)^2
Expandindo o lado direito:
(x - 1)^2 + 4 = (x + 1)^2 + 4 + 3,6 raiz(x + 1)^2 + 4 + 3,24
Simplificando:
x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 + 2x + 1 + 4 + 3,6 raiz(x + 1)^2 + 4 + 3,24
Cancelamos -2x + 5 = 2x + 8,24 + 3,6 raiz(x + 1)^2 + 4 e simplificamos os termos:

Passo 7

Vamos reagrupar os termos:
-4x - 3,24 = 3,6 raiz(x + 1)^2 + 4
Dividindo ambos os lados por 3,6:
-4x - 3,243,6 = raiz(x + 1)^2 + 4
Simplificando:
- 4x + 3,243,6 = raiz(x + 1)^2 + 4
Notamos que o lado esquerdo precisa ser positivo, já que a raiz é sempre positiva. Portanto, apenas consideramos soluções onde , ou seja, .

Passo 8

Elevamos ambos os lados novamente ao quadrado:
(-4x + 3,243,6)^2 = (x + 1)^2 + 4
Calculando o quadrado:
(4x + 3,24)^212,96 = x^2 + 2x + 1 + 4
Multiplicando ambos os lados por 12,96 para eliminar o denominador:
(4x + 3,24)^2 = 12,96(x^2 + 2x + 5)
Expandindo o lado esquerdo:
16x^2 + 25,92x + 10,4976 = 12,96x^2 + 25,92x + 64,8
Subtraindo 3,04x^2 - 54,3024 = 0 de ambos os lados:

Passo 9

Resolvendo para 3,04x^2 = 54,3024 :
x^2 = 54,30243,04 approx 17,84
x approx pm raiz17,84 approx pm 4,225
x approx -4,225
Como já vimos que , descartamos a solução positiva:

Resposta

A primeira coordenada do ponto onde o raio caiu é aproximadamente km.

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