Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva definida pelas equações paramétricas , , e no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas para achar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual valor de corresponde ao ponto . Isso significa substituir as coordenadas de nas equações paramétricas e resolver para .
Vamos verificar as outras coordenadas para ter certeza:
Tudo confere! Então, é o valor que a gente precisa.
Passo 3
Agora, para achar a reta tangente, precisamos encontrar a direção dessa reta na curva. Isso é feito calculando as derivadas das funções , , e em relação a . As derivadas nos dão a taxa de variação das coordenadas, ou seja, o vetor tangente.
Vamos calcular cada uma:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no valor de que encontramos antes:
Então, o vetor tangente no ponto é .
Passo 5
Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta é:
Onde é o ponto inicial e é o vetor direção, e é o parâmetro.