Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto P0 especificado: x = t^2 - 1, y = t^2 + 1, z = t + 1, P0(-1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva definida pelas equações paramétricas , , e no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas para achar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual valor de corresponde ao ponto . Isso significa substituir as coordenadas de nas equações paramétricas e resolver para .
Vamos verificar as outras coordenadas para ter certeza:
Tudo confere! Então, é o valor que a gente precisa.

Passo 3

Agora, para achar a reta tangente, precisamos encontrar a direção dessa reta na curva. Isso é feito calculando as derivadas das funções , , e em relação a . As derivadas nos dão a taxa de variação das coordenadas, ou seja, o vetor tangente.
Vamos calcular cada uma:

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no valor de que encontramos antes:
Então, o vetor tangente no ponto é .

Passo 5

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta é:
Onde é o ponto inicial e é o vetor direção, e é o parâmetro.
Aplicando os valores que temos:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

Exercícios relacionados

r(t) = <t^2, sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t)>, 0 <= t <= pi
Determine o comprimento da curva dada.
integral0^3 integral0^2 integral0^x+z 6 x z d y d x d z
Se u(t) = i - 2 t^2 j + 3 t^3 k e v(t) = t i + cos(t) j + sen(t) k: determine D_t[u(t) x v(t)]
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: lim (x, y) (0,0) x^3+x y^2x^2+y^2